Portal da Matemática OBMEP Patrícia é nova na escola e acabou de conhecer três meninas: Alexandra, cujo signo é Áries; Beatriz, cujo signo é Virgem; e Carolina, cujo signo é Leão. Considerando o conjunto \mathbf{A} formado pelas novas colegas de Patrícia e \mathbf{B} o conjunto dos 12 signos do zodíaco. Classifique como VERDADEIRO ou FALSO:
I) f: \mathbf{A} \longrightarrow \mathbf{B} é Injetiva.
III) f: \mathbf{A} \longrightarrow \mathbf{B} é Bijetiva.
II) f: \mathbf{A} \longrightarrow \mathbf{B} é Sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado define o conjunto das colegas de Patrícia
\mathbf{A} = \{\text{Alexandra},\;\text{Beatriz},\;\text{Carolina}\}
e o conjunto dos 12 signos do zodíaco
\mathbf{B}. A função
f: \mathbf{A} \longrightarrow \mathbf{B}
atribui a cada uma o seu signo: Alexandra \to Áries, Beatriz \to Virgem e Carolina \to Leão. Precisamos classificar as propriedades de injetividade, sobrejetividade e bijetividade de f.

Passo 2

Para ser injetiva, valores distintos em \mathbf{A} devem ter imagens distintas em \mathbf{B}. Como
f(\text{Alexandra})=\text{Áries},\quad f(\text{Beatriz})=\text{Virgem},\quad f(\text{Carolina})=\text{Leão},Áã
e \text{Áries}Á, \text{Virgem} e \text{Leão}ã são três signos diferentes, concluímos que f é injetiva. Logo, I) é VERDADEIRO.

Passo 3

Para ser sobrejetiva, toda elemento de \mathbf{B} precisa ser imagem de alguém em \mathbf{A}. Mas \mathbf{A} tem apenas 3 elementos, de modo que \mathrm{Im}(f) tem no máximo 3 signos, ficando 9 signos de \mathbf{B} sem preimagem. Assim, f não é sobrejetiva. Logo, II) é FALSO.

Passo 4

Uma função é bijetiva se, e somente se, for simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Vimos que f é injetiva, mas não é sobrejetiva. Portanto f não é bijetiva. Logo, III) é FALSO.

Resposta

I) Verdadeiro.
II) Falso.
III) Falso.

Exercícios relacionados