Portal da Matemática OBMEP Patrícia é nova na escola e acabou de conhecer três meninas: Alexandra, cujo signo é Áries; Beatriz, cujo signo é Virgem; e Carolina, cujo signo é Leão. Considerando o conjunto
formado pelas novas colegas de Patrícia e
o conjunto dos 12 signos do zodíaco. Classifique como VERDADEIRO ou FALSO:
I)
é Injetiva.
III)
é Bijetiva.
II)
é Sobrejetiva.
I)
III)
II)
Passo 1
O enunciado define o conjunto das colegas de Patrícia
e o conjunto dos signos do zodíaco
. A função
e o conjunto dos
atribui a cada uma o seu signo: Alexandra
Áries, Beatriz
Virgem e Carolina
Leão. Precisamos classificar as propriedades de injetividade, sobrejetividade e bijetividade de
.
Passo 2
Para ser injetiva, valores distintos em
devem ter imagens distintas em
. Como
e
,
e
são três signos diferentes, concluímos que
é injetiva. Logo, I) é VERDADEIRO.
Passo 3
Para ser sobrejetiva, toda elemento de
precisa ser imagem de alguém em
. Mas
tem apenas
elementos, de modo que
tem no máximo
signos, ficando
signos de
sem preimagem. Assim,
não é sobrejetiva. Logo, II) é FALSO.
Passo 4
Uma função é bijetiva se, e somente se, for simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Vimos que
é injetiva, mas não é sobrejetiva. Portanto
não é bijetiva. Logo, III) é FALSO.
Resposta
I) Verdadeiro.
II) Falso.
III) Falso.
II) Falso.
III) Falso.