Portal da Matemática OBMEP Sejam as funções f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, tais que g(x)=3 x-2 e f \circ g(x)=6 x+1. Determine f(4) e f(x).

Passo 1

O enunciado dá duas funções f e g de \mathbb{R} em \mathbb{R}, com
g(x)=3x-2
e a composição
(f\circ g)(x)=6x+1.
O objetivo é encontrar a expressão de f(x) e, em seguida, calcular f(4). Vamos usar a ideia de substituir g(x) na composição e resolver para f.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a composição, temos
f\bigl(g(x)\bigr)=f(3x-2)=6x+1.
Isso mostra que, sempre que o argumento de f for 3x-2, o valor é 6x+1.

Passo 3

Para descobrir f em variável genérica, definimos
t = 3x - 2
e, invertendo,
x = \frac{t + 2}{3}.
Substituindo em 6x+1, obtemos
f(t) \;=\; 6\!\bigl(\tfrac{t+2}{3}\bigr) +1 \;=\; 2(t+2) +1 \;=\; 2t +5.
Logo, trocando o nome da variável de volta para x,
f(x)=2x+5.

Passo 4

Para encontrar f(4), basta substituir x=4 em f(x)=2x+5:
f(4)=2\cdot4+5=8+5=13.

Resposta

f(x)=2x+5
f(4)=13

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