Portal da Matemática OBMEP Seja f uma função, de \mathbb{R} em \mathbb{R}, bijetiva, tal que f(3 x+3)=2 x-1. Determine f^{-1}(x).

Passo 1

O enunciado diz que f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} é bijetora e satisfaz
f(3x+3)=2x-1
para todo x. O objetivo é encontrar a expressão de f^{-1}(x). Vamos usar mudança de variável para identificar f e depois inverter a relação.

Passo 2

Defina t = 3x+3. Então
x = \frac{t-3}{3}.
Substituindo em f(3x+3)=2x-1, obtemos uma fórmula para f(t).

Passo 3

Substituindo x = \tfrac{t-3}{3} em 2x-1
f(t) = 2\cdot\frac{t-3}{3} - 1 = \frac{2t-6}{3} - 1 = \frac{2t-6-3}{3} = \frac{2t-9}{3} = \frac{2}{3}\,t - 3.

Passo 4

Agora que sabemos que
f(u) = \frac{2}{3}u - 3,
basta resolver
\frac{2}{3}y - 3 = x
para y. Isolando y:
\frac{2}{3}y = x+3 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{3}{2}\,(x+3) = \frac{3}{2}x + \frac{9}{2}.

Resposta

f^{-1}(x) = \frac{3}{2}x + \frac{9}{2}.

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