A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por \theta(T)=4 t-3 t^{2}+t^{3}, onde \theta está em rad e t em segundos.
a) Qual a em t=2 s ?
b) Qual a \alpha média entre 2 e 4 s ?
c) Qual a \alpha instantânea em t=2 s ?

Passo 1

O enunciado nos dá a posição angular \theta(t)=4t-3t^{2}+t^{3} em radianos como função do tempo t em segundos. Pede: (a) a velocidade angular \omega em t=2\\ \mathrm{s}; (b) a aceleração angular média entre t=2\\ \mathrm{s} e t=4\\ \mathrm{s}; (c) a aceleração angular instantânea \alpha em t=2\\ \mathrm{s}. Vamos usar que \omega = \dfrac{d\theta}{dt}, \alpha = \dfrac{d\omega}{dt} e \alpha_{\text{méd}} = \dfrac{\Delta \omega}{\Delta t}é.

Passo 2

Derivamos \theta(t) para obter \omega(t):
\omega(t) = \frac{d\theta}{dt} = 4 - 6t + 3t^{2}.
Em t=2\\ \mathrm{s}:
\omega(2) = 4 - 6\cdot2 + 3\cdot2^{2} = 4 - 12 + 12 = 4.
Logo, \omega(2)=4\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calculamos a aceleração angular média entre 2\\ \mathrm{s} e 4\\ \mathrm{s}. Primeiro achamos \omega(4):
\omega(4) = 4 - 6\cdot4 + 3\cdot4^{2} = 4 - 24 + 48 = 28.
Então
\alpha_{\text{méd}} = \frac{\omega(4) - \omega(2)}{4 - 2} = \frac{28 - 4}{2} = 12.é
Portanto, \alpha_{\text{méd}} = 12\\ \mathrm{rad/s^{2}}é.

Passo 4

Derivamos \omega(t) para obter a aceleração instantânea \alpha(t):
\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = -6 + 6t.
Em t=2\\ \mathrm{s}:
\alpha(2) = -6 + 6\cdot2 = -6 + 12 = 6.
Logo, \alpha(2) = 6\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Resposta

(a) \omega(2)=4\\ \mathrm{rad/s}
(b) \alpha_{\text{méd}}=12\\ \mathrm{rad/s^{2}}é
(c) \alpha(2)=6\\ \mathrm{rad/s^{2}}

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