A posição angular de um ponto de uma roda é dada por
, em que
está em radianos e t em segundos. A velocidade angular em t=4,0 s e a aceleração angular em t=2,0 s, são respectivamente:*
e
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição angular de um ponto numa roda dada pela função $ \theta(t) = 2,0 - 4,0 t^{2} + 2,0 t^{3} $, onde $ \theta $ está em radianos e $ t $ em segundos. Queremos encontrar a velocidade angular em $ t = 4,0 $ segundos e a aceleração angular em $ t = 2,0 $ segundos. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a encontrar taxas de variação, como velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade angular. A velocidade angular ($ \omega $) é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo. Matemáticamente, é a primeira derivada de $ \theta(t) $ em relação a $ t $:
Então, vamos calcular essa derivada para encontrar $ \omega(t) $.
Passo 3
Calculando a derivada de $ \theta(t) = 2,0 - 4,0 t^{2} + 2,0 t^{3} $:
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então:
Agora, derivando os outros termos:
Então, a velocidade angular fica:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a velocidade angular em $ t = 4,0 $ segundos. Basta substituir esse valor na expressão que encontramos:
Calculando passo a passo:
Então:
Passo 5
Agora, vamos para a aceleração angular ($ \alpha $). A aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada de $ \theta(t) $ ou a primeira derivada de $ \omega(t) $:
Vamos derivar $ \omega(t) = -8,0 t + 6,0 t^{2} $:
Calculando as derivadas:
Então, a aceleração angular fica:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a aceleração angular em $ t = 2,0 $ segundos. Substituindo na expressão:
Calculando:
Resposta
A velocidade angular em $ t = 4,0 $ s é $ 64 , \mathrm{rad/s} $ e a aceleração angular em $ t = 2,0 $ s é $ 16 , \mathrm{rad/s^{2}} $. Portanto, a resposta correta é:
$ 64 , \mathrm{rad/s} $ e $ 16 , \mathrm{rad/s^{2}} $