A posição angular de um ponto de uma roda é dada por theta=2,0-4,0 t^2+2,0 t^3, em que theta está em radianos e t em segundos. A velocidade angular em t=4,0 s e a aceleração angular em t=2,0 s, são respectivamente:*
128 rad / s e 32 rad / s^2
96 rad / s e 32 rad / s^2
64 rad / s e 32 rad / s^2
64 rad / s e 16 rad / s^2
32 rad / s e 16 rad / s^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição angular de um ponto numa roda dada pela função $ \theta(t) = 2,0 - 4,0 t^{2} + 2,0 t^{3} $, onde $ \theta $ está em radianos e $ t $ em segundos. Queremos encontrar a velocidade angular em $ t = 4,0 $ segundos e a aceleração angular em $ t = 2,0 $ segundos. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a encontrar taxas de variação, como velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade angular. A velocidade angular ($ \omega $) é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo. Matemáticamente, é a primeira derivada de $ \theta(t) $ em relação a $ t $:
omega
Então, vamos calcular essa derivada para encontrar $ \omega(t) $.

Passo 3

Calculando a derivada de $ \theta(t) = 2,0 - 4,0 t^{2} + 2,0 t^{3} $:
theta(t) = 2,0 - 4,0 t^2 + 2,0 t^3
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então:
omega(t) = ddt(2,0) - ddt(4,0 t^2) + ddt(2,0 t^3)
Agora, derivando os outros termos:
ddt(2,0) = 0
ddt(4,0 t^2) = 8,0 t
Então, a velocidade angular fica:
ddt(2,0 t^3) = 6,0 t^2

Passo 4

Agora, queremos encontrar a velocidade angular em $ t = 4,0 $ segundos. Basta substituir esse valor na expressão que encontramos:
t = 4,0
Calculando passo a passo:
omega(4,0) = -8,0 times 4,0 + 6,0 times (4,0)^2
-8,0 times 4,0 = -32,0
(4,0)^2 = 16,0
Então:
6,0 times 16,0 = 96,0

Passo 5

Agora, vamos para a aceleração angular ($ \alpha $). A aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada de $ \theta(t) $ ou a primeira derivada de $ \omega(t) $:
alpha
Vamos derivar $ \omega(t) = -8,0 t + 6,0 t^{2} $:
theta(t)
Calculando as derivadas:
omega(t)
alpha(t) = domegadt
Então, a aceleração angular fica:
omega(t) = -8,0 t + 6,0 t^2

Passo 6

Agora, queremos encontrar a aceleração angular em $ t = 2,0 $ segundos. Substituindo na expressão:
t = 2,0
Calculando:
alpha(2,0) = -8,0 + 12,0 times 2,0
12,0 times 2,0 = 24,0

Resposta

A velocidade angular em $ t = 4,0 $ s é $ 64 , \mathrm{rad/s} $ e a aceleração angular em $ t = 2,0 $ s é $ 16 , \mathrm{rad/s^{2}} $. Portanto, a resposta correta é:
$ 64 , \mathrm{rad/s} $ e $ 16 , \mathrm{rad/s^{2}} $

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