Se a posição de um carro no instante t>0 é dada pela função s(t), então a velocidade média entre os instantes t e t+h é dada por (s(t+h)-s(t)) / h, sempre que t+h>0. Definimos a velocidade instantânea do carro no instante t>0 como sendo
v(t)=lim h 0 s(t+h)-s(t)h,
quando esse limite existe. Calcule a velocidade instantânea em cada um dos casos abaixo:
s(t)=t^3

Passo 1

Temos a posição s(t)=t^3 e queremos a velocidade instantânea definida por
v(t)=limhto0s(t+h)-s(t)h
Ou seja, vamos usar a definição de derivada pelo quociente de diferenças.

Passo 2

Primeiro calculamos s(t+h) e o numerador do quociente:
s(t+h)=(t+h)^3 = t^3 + 3t^2h + 3th^2 + h^3,
então
s(t+h)-s(t) = l(t^3 + 3t^2h + 3th^2 + h^3r) - t^3 = 3t^2h + 3th^2 + h^3
Dividindo por h,
s(t+h)-s(t)h = 3t^2 + 3t,h + h^2

Passo 3

Agora tomamos o limite quando hto0. Os termos que envolvem h desaparecem, sobrando
v(t)=limhto0l(3t^2 + 3t,h + h^2r) = 3t^2

Resposta

A velocidade instantânea é
v(t)=3t^2

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