Se a posição de um carro no instante t>0 é dada pela função s(t), então a velocidade média entre os instantes t e t+h é dada por (s(t+h)-s(t)) / h, sempre que t+h>0. Definimos a velocidade instantânea do carro no instante t>0 como sendo
v(t)=lim h 0 s(t+h)-s(t)h,
quando esse limite existe. Calcule a velocidade instantânea em cada um dos casos abaixo:
s(t)=2+3 t+4 t^2

Passo 1

O enunciado nos dá a posição do carro em cada instante como
s(t)=2+3t+4t^2
e define a velocidade instantânea como
v(t)=limhto0s(t+h)-s(t)h
O conteúdo é derivada de polinômio e vamos usar a definição de limite do quociente incremental para obter v(t).

Passo 2

Calcular o incremento da posição no intervalo de tamanho h:
s(t+h)-s(t) = l[2+3(t+h)+4(t+h)^2r] - l[2+3t+4t^2r]
Expandindo:
s(t+h)-s(t)=3h +4l(t^2+2th+h^2 - t^2r) =3h +8th+4h^2

Passo 3

Formar o quociente incremental dividindo por h:
s(t+h)-s(t)h =3h+8th+4h^2h =3+8t+4h

Passo 4

Tomar o limite quando hto0:
v(t)=limhto0(3+8t+4h)=3+8t

Resposta

v(t)=3+8t

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