Nos problemas de 13 a 20 , encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime-2 y=c^2 t, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - 2y = c^2t, y(0)=2
Este é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver vamos usar o fator integrante mu(t)=e^-2t.

Passo 2

Multiplicando a equação por mu(t)=e^-2t obtemos
(y,e^-2t)' = c^2t,e^-2t = e^2t(ln c - 1)
Agora precisamos integrar ambos os lados em t.

Passo 3

Caso ln c - 1 neq 0 (isto é, cneq e),
y,e^-2t = integral e^2t(ln c - 1),dt + K = e^2t(ln c - 1)2(ln c - 1) + K,
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y(t)=12(ln c - 1),c^2t + K,e^2t
Impondo y(0)=2
2 = 12(ln c - 1) + K Longrightarrow K = 2 - 12(ln c - 1)

Passo 4

Caso ln c - 1 = 0 (isto é, c=e), o integrando vira constante e^0=1 e
(y,e^-2t)' = 1 Longrightarrow y,e^-2t = t + K Longrightarrow y(t)=e^2t(t+K)
Usando y(0)=2 segue K=2, logo y(t)=e^2t(t+2).

Resposta

Para c neq e:
y(t) = 12(ln c - 1) c^2t + (2 - 12(ln c - 1)) e^2t
Para c = e:
y(t) = e^2t (t + 2)

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