(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O enunciado pede a derivada
da função
Informações dadas:
- A função é produto de duas partes: uma potência quinta de uma razão e uma fração racional envolvendo
, e . - É solicitado calcular a derivada completa
.
Passo 2
Estratégia (informal e útil para a prova): usar a regra do produto. Vamos definir partes claras para não nos perder:
Como
, pela regra do produto:
Explicação curta das regras que vou usar (pra não se perder na prova):
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia: se
então . - Regra do quociente:
. - Derivadas básicas usadas:
, , .
Passo 3
Calcular
. Primeiro
então pela cadeia:
Agora
. Aplicando a regra do quociente:
Logo
Passo 4
Agora calculamos
. Escrevendo numerator e denominator de
para aplicar quociente:
Usaremos
. Então precisamos de
e
.
Passo 5
Calcular
. Note a simplificação útil:
Portanto
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
-
. -
. - Para
usamos produto: seja e . Então
Logo
Simplificando os coeficientes:
e
.
Assim
Assim
Agrupando
:
Passo 6
Calcular
. Lembre que
. Use produto:
e
.
Logo
Portanto
Passo 7
Montar
. Substituindo
:
Primeiro calcule
. Usando as formas obtidas:
Multiplicando
pelo parêntese interno:
Logo
Agora calcule
:
Não expandiremos todo agora; vamos usar isso na expressão final.
Assim
Passo 8
Simplificar
dividindo numerador e denominador por fatores óbvios para ficar mais legível (passo que é bom fazer na prova para não ficar com potência excessiva de
).
Denominador:
Numerador tem termos com fator
e com
. Podemos escrever:
Dividindo numerador e denominador por
(válido quando
, condição usualmente assumida para derivadas locais), obtemos:
Essa forma já é bem organizada para aplicar na expressão final; se necessário pode expandir
novamente.
Passo 9
Agora voltamos a
. Substituindo
nas formas encontradas:
Recordando
e
como na forma simplificada do passo anterior.
Portanto a derivada completa é
onde
e
é a expressão do passo 8.]
Passo 10
Opcional (organização final para conferência na prova): colocar tudo sobre um denominador comum e, se preferir, expandir
substituindo
para obter uma expressão explícita só com funções elementares. Mas essa última expansão gera um polinômio longo em
. O essencial é que todas as etapas e fórmulas usadas foram aplicadas corretamente e que a expressão de
acima é equivalente à forma totalmente expandida.
Resposta
onde
.]