(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
f(x)=\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\operatorname{tg}(x)}\right)^{5} \frac{1+\operatorname{tg}(x)+2 \sqrt{x}(1-\sqrt{x}) \operatorname{sec} ^{2}(x)}{2 \sqrt{x}(1+\operatorname{tg}(x))^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} da função
f(x)=\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\tan x}\right)^{5}\;\frac{1+\tan x+2\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}x}{2\sqrt{x}(1+\tan x)^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é produto de duas partes: uma potência quinta de uma razão e uma fração racional envolvendo \sqrt{x}, \tan x e \operatorname{sec}^{2}x.
  • É solicitado calcular a derivada completa f'(x).

Passo 2

Estratégia (informal e útil para a prova): usar a regra do produto. Vamos definir partes claras para não nos perder:
A(x)=\frac{1-\sqrt{x}}{1+\tan x}, \qquad u(x)=A(x)^{5}, \qquad v(x)=\frac{1+\tan x+2\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}x}{2\sqrt{x}(1+\tan x)^{2}}.
Como f(x)=u(x)\,v(x), pela regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicação curta das regras que vou usar (pra não se perder na prova):
  • Regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
  • Regra da cadeia: se u(x)=[g(x)]^{5} então u'(x)=5[g(x)]^{4}g'(x).
  • Regra do quociente: \displaystyle\left(\frac{p}{q}\right)'=\frac{p'q-pq'}{q^{2}}.
  • Derivadas básicas usadas: \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x, \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}^{2}x=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x.

Passo 3

Calcular u'(x). Primeiro u(x)=A(x)^{5} então pela cadeia:
u'(x)=5A(x)^{4}A'(x).
Agora A(x)=\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\tan x}. Aplicando a regra do quociente:
A'(x)=\frac{\left(-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)(1+\tan x)-(1-\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}x}{(1+\tan x)^{2}}.
Logo
u'(x)=5\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\tan x}\right)^{4} \frac{-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(1+\tan x)-(1-\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}x}{(1+\tan x)^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos v'(x). Escrevendo numerator e denominator de v para aplicar quociente:
N(x)=1+\tan x+2\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}x, \qquad D(x)=2\sqrt{x}(1+\tan x)^{2},
v(x)=\frac{N(x)}{D(x)}.
Usaremos v'=\dfrac{N'D-ND'}{D^{2}}. Então precisamos de N'(x) e D'(x).

Passo 5

Calcular N'(x). Note a simplificação útil:
\sqrt{x}(1-\sqrt{x})=\sqrt{x}-x.
Portanto N(x)=1+\tan x+2(\sqrt{x}-x)\operatorname{sec}^{2}x.
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}(1)=0.
  • \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x.
  • Para 2(\sqrt{x}-x)\operatorname{sec}^{2}x usamos produto: seja a(x)=\sqrt{x}-x e b(x)=\operatorname{sec}^{2}x. Então
a'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1, \qquad b'(x)=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x.
Logo
\frac{d}{dx}\big(2a b\big)=2\big(a'b+ab'\big) =2\Big(\Big(\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\Big)\operatorname{sec}^{2}x+(\sqrt{x}-x)\,2\operatorname{sec}^{2}x\tan x\Big).
Simplificando os coeficientes:
2\Big(\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\Big)=\frac{1}{\sqrt{x}}-2,
e 2(\sqrt{x}-x)\cdot 2 =4(\sqrt{x}-x)=4\sqrt{x}(1-\sqrt{x}).
Assim
N'(x)=\operatorname{sec}^{2}x+\Big(\frac{1}{\sqrt{x}}-2\Big)\operatorname{sec}^{2}x+4(\sqrt{x}-x)\operatorname{sec}^{2}x\tan x.
Agrupando \operatorname{sec}^{2}x:
N'(x)=\operatorname{sec}^{2}x\Big(\frac{1}{\sqrt{x}}-1+4\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\tan x\Big).

Passo 6

Calcular D'(x). Lembre que D(x)=2\sqrt{x}(1+\tan x)^{2}. Use produto: c(x)=2\sqrt{x} e d(x)=(1+\tan x)^{2}.
c'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \qquad d'(x)=2(1+\tan x)\operatorname{sec}^{2}x.
Logo
D'(x)=c'd+c d'=\frac{1}{\sqrt{x}}(1+\tan x)^{2}+2\sqrt{x}\cdot 2(1+\tan x)\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto
D'(x)=\frac{(1+\tan x)^{2}}{\sqrt{x}}+4\sqrt{x}(1+\tan x)\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 7

Montar v'(x)=\dfrac{N'D-ND'}{D^{2}}. Substituindo N',D,N,D':
Primeiro calcule N'(x)D(x). Usando as formas obtidas:
N'(x)D(x)=\operatorname{sec}^{2}x\Big(\frac{1}{\sqrt{x}}-1+4\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\tan x\Big)\cdot 2\sqrt{x}(1+\tan x)^{2}.
Multiplicando 2\sqrt{x} pelo parêntese interno:
2\sqrt{x}\Big(\frac{1}{\sqrt{x}}-1+4\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\tan x\Big)=2-2\sqrt{x}+8x(1-\sqrt{x})\tan x.
Logo
N'(x)D(x)=\operatorname{sec}^{2}x\,(1+\tan x)^{2}\big(2-2\sqrt{x}+8x(1-\sqrt{x})\tan x\big).
Agora calcule N(x)D'(x):
N(x)D'(x)=N(x)\Big(\frac{(1+\tan x)^{2}}{\sqrt{x}}+4\sqrt{x}(1+\tan x)\operatorname{sec}^{2}x\Big).
Não expandiremos todo agora; vamos usar isso na expressão final.
Assim
v'(x)=\frac{\operatorname{sec}^{2}x\,(1+\tan x)^{2}\big(2-2\sqrt{x}+8x(1-\sqrt{x})\tan x\big)-N(x)\Big(\dfrac{(1+\tan x)^{2}}{\sqrt{x}}+4\sqrt{x}(1+\tan x)\operatorname{sec}^{2}x\Big)}{\big(2\sqrt{x}(1+\tan x)^{2}\big)^{2}}.

Passo 8

Simplificar v'(x) dividindo numerador e denominador por fatores óbvios para ficar mais legível (passo que é bom fazer na prova para não ficar com potência excessiva de (1+\tan x)).
Denominador:
D(x)^{2}=\big(2\sqrt{x}(1+\tan x)^{2}\big)^{2}=4x(1+\tan x)^{4}.
Numerador tem termos com fator (1+\tan x)^{2} e com (1+\tan x). Podemos escrever:
v'(x)=\frac{(1+\tan x)^{2}\Big[\operatorname{sec}^{2}x\big(2-2\sqrt{x}+8x(1-\sqrt{x})\tan x\big)-\dfrac{N(x)}{\sqrt{x}}\Big]-4\sqrt{x}(1+\tan x)\operatorname{sec}^{2}x\,N(x)}{4x(1+\tan x)^{4}}.
Dividindo numerador e denominador por (1+\tan x)^{2} (válido quando (1+\tan x)\neq0, condição usualmente assumida para derivadas locais), obtemos:
v'(x)=\frac{\operatorname{sec}^{2}x\big(2-2\sqrt{x}+8x(1-\sqrt{x})\tan x\big)-\dfrac{N(x)}{\sqrt{x}}-\dfrac{4\sqrt{x}\operatorname{sec}^{2}x\,N(x)}{1+\tan x}}{4x(1+\tan x)^{2}}.
Essa forma já é bem organizada para aplicar na expressão final; se necessário pode expandir N(x) novamente.

Passo 9

Agora voltamos a f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Substituindo u,u',v,v' nas formas encontradas:
Recordando
u'(x)=5\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\tan x}\right)^{4} \frac{-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(1+\tan x)-(1-\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}x}{(1+\tan x)^{2}},
v(x)=\frac{N(x)}{2\sqrt{x}(1+\tan x)^{2}},
u(x)=\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\tan x}\right)^{5},
e v'(x) como na forma simplificada do passo anterior.
Portanto a derivada completa é
\begin{aligned} f'(x)=\; &5\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\tan x}\right)^{4} \frac{-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(1+\tan x)-(1-\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}x}{(1+\tan x)^{2}} \cdot\frac{N(x)}{2\sqrt{x}(1+\tan x)^{2}}\\[6pt] &+\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\tan x}\right)^{5}\cdot v'(x), \end{aligned}
onde N(x)=1+\tan x+2\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}x e v'(x) é a expressão do passo 8.]

Passo 10

Opcional (organização final para conferência na prova): colocar tudo sobre um denominador comum e, se preferir, expandir v'(x) substituindo N(x) para obter uma expressão explícita só com funções elementares. Mas essa última expansão gera um polinômio longo em \sqrt{x},\tan x,\operatorname{sec}^{2}x,\operatorname{sec}^{2}x\tan x. O essencial é que todas as etapas e fórmulas usadas foram aplicadas corretamente e que a expressão de f'(x) acima é equivalente à forma totalmente expandida.

Resposta

\begin{aligned} f'(x)=\; &5\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\tan x}\right)^{4} \frac{-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(1+\tan x)-(1-\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}x}{(1+\tan x)^{2}} \cdot\frac{1+\tan x+2\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}x}{2\sqrt{x}(1+\tan x)^{2}}\\[6pt] &+\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\tan x}\right)^{5}\cdot \frac{\operatorname{sec}^{2}x\,(1+\tan x)^{2}\big(2-2\sqrt{x}+8x(1-\sqrt{x})\tan x\big)-N(x)\Big(\dfrac{(1+\tan x)^{2}}{\sqrt{x}}+4\sqrt{x}(1+\tan x)\operatorname{sec}^{2}x\Big)}{4x(1+\tan x)^{4}} \end{aligned}
onde N(x)=1+\tan x+2\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\operatorname{sec}^{2}x.]

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