A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x=3 t-4 t^{2}+t^{3}, onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t :
(e) Qual é o deslocamento do objeto entre t=0 \mathrm{e} t=4 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a posição do objeto ao longo do eixo x como função do tempo:
x(t)=3t-4t^{2}+t^{3},
com x em metros e t em segundos. A pergunta (parte (e)) é: qual é o deslocamento do objeto entre t=0 e t=4\\ \text{s}?
Lista das informações relevantes: x(t) como acima; tempos inicial t_1=0 e final t_2=4\\ \text{s}.

Passo 2

Conceito importante: o deslocamento é a variação da posição entre dois instantes, isto é a diferença entre a posição final e a posição inicial. A fórmula é
\Delta x = x(t_2)-x(t_1),
onde \Delta x tem sinal (positivo se houve movimento líquido no sentido positivo de x, negativo no sentido oposto). Diferente do deslocamento, a distância percorrida soma todos os trajetos, considerando reversões de movimento; aqui só nos pedem o deslocamento, então usamos a fórmula acima.

Passo 3

Calcular a posição inicial em t=0. Substituímos t=0 em x(t):
x(0)=3\cdot 0 - 4\cdot 0^{2} + 0^{3}=0-0+0=0\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a posição em t=4. Substituímos t=4 em x(t) e avaliamos termo a termo:
x(4)=3\cdot 4 - 4\cdot 4^{2} + 4^{3}.
Agora calculamos cada parcela:
3\cdot 4 = 12,
4^{2}=16 \quad\Rightarrow\quad -4\cdot 16 = -64,
4^{3}=64.
Somando:
x(4)=12-64+64=12\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula do deslocamento entre t=0 e t=4:
\Delta x = x(4)-x(0)=12-0=12\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: o deslocamento é positivo, ou seja, o objeto terminou 12\\ \mathrm{m} à frente da posição inicial. Observação didática rápida (para não confundir): mesmo que o objeto possa ter mudado de direção durante o intervalo, o deslocamento é apenas essa diferença de posição; a distância percorrida seria, em geral, maior ou igual a 12\\ \mathrm{m}, mas não nos foi pedido calcular a distância.

Resposta

12\\ \mathrm{m}

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