A posição de uma partícula é dada pela seguinte equação x=C t^3, onde C é uma constante com unidades de m / s^3. Encontre a velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula dada por $ x = C t^{3} $, onde $ C $ é uma constante com unidades de $ \frac{m}{s^{3}} $. Nosso objetivo aqui é encontrar duas coisas: a velocidade e a aceleração dessa partícula em função do tempo. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a primeira derivada de $ x $ em relação a $ t $.
Dada a posição:
x
Vamos derivar $ x $ em relação a $ t $:
t
Usando a regra do poder na derivação:
x = C t^3
Aplicando isso:
x
Então, a velocidade da partícula em função do tempo é:
t

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a segunda derivada de $ x $ em relação a $ t $ ou a primeira derivada de $ v(t) $ em relação a $ t $.
Já encontramos a velocidade:
x
Vamos derivar $ v(t) $ em relação a $ t $:
t
Aplicando a regra do poder novamente:
v(t)
Portanto:
t
Assim, a aceleração da partícula em função do tempo é:
v(t) = 3C t^2

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é $ v(t) = 3C t^{2} $ e a aceleração é $ a(t) = 6C t $.

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