A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo
é dada por:
onde
e
são constantes;
é dado em
e
em
.
Nas perguntas seguintes considere
.
Em que instante a partícula alcança o ponto no qual o valor de
é máximo?
Nas perguntas seguintes considere
Em que instante a partícula alcança o ponto no qual o valor de
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo ao longo do eixo $ O x $ com a posição dada pela equação:
onde $ b_{1} = 3 , m/s^{3} $ e $ b_{2} = 0,7 , m/s^{4} $. A pergunta é: Em que instante a partícula alcança o ponto onde o valor de $ x $ é máximo?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o momento em que a posição $ x $ atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a posição da partícula em função do tempo é dada por:
Nosso objetivo é encontrar o valor de $ t $ que maximiza $ x(t) $.
Passo 3
Para encontrar o instante em que $ x(t) $ é máximo, precisamos calcular a derivada de $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $. A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade da partícula:
Aplicando a regra da potência para derivação:
Passo 4
Para encontrar o ponto máximo de $ x(t) $, devemos encontrar o valor de $ t $ onde a velocidade $ v(t) = 0 $. Então, igualamos a derivada a zero:
Podemos fatorar $ t^{2} $:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
- $ t = 0 $ segundos
- $ 3 b_{1} - 4 b_{2} t = 0 $
A solução $ t = 0 $ corresponde ao instante inicial, onde a partícula está no ponto de partida. O máximo ocorre no segundo caso, então vamos resolver para $ t $:
Passo 5
Agora, substituímos os valores dados para $ b_{1} $ e $ b_{2} $:
Calculando isso:
Resposta
A partícula alcança o ponto onde $ x $ é máximo aproximadamente em $ 3,21 $ segundos.