A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo O x é dada por:
x=b1 t^3-b2 t^4
onde b1 e b2 são constantes; x é dado em m e t em s.
Nas perguntas seguintes considere b1=3 m / s^3 e b2=0,7 m / s^4.
Em que instante a partícula alcança o ponto no qual o valor de x é máximo?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo ao longo do eixo $ O x $ com a posição dada pela equação:
O x
onde $ b_{1} = 3 , m/s^{3} $ e $ b_{2} = 0,7 , m/s^{4} $. A pergunta é: Em que instante a partícula alcança o ponto onde o valor de $ x $ é máximo?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o momento em que a posição $ x $ atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a posição da partícula em função do tempo é dada por:
x(t) = b1 t^3 - b2 t^4
Nosso objetivo é encontrar o valor de $ t $ que maximiza $ x(t) $.

Passo 3

Para encontrar o instante em que $ x(t) $ é máximo, precisamos calcular a derivada de $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $. A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade da partícula:
x(t)
Aplicando a regra da potência para derivação:
x(t)

Passo 4

Para encontrar o ponto máximo de $ x(t) $, devemos encontrar o valor de $ t $ onde a velocidade $ v(t) = 0 $. Então, igualamos a derivada a zero:
x(t)
Podemos fatorar $ t^{2} $:
t
Isso nos dá duas soluções possíveis:
  1. $ t = 0 $ segundos
  2. $ 3 b_{1} - 4 b_{2} t = 0 $
A solução $ t = 0 $ corresponde ao instante inicial, onde a partícula está no ponto de partida. O máximo ocorre no segundo caso, então vamos resolver para $ t $:
v(t) = 0

Passo 5

Agora, substituímos os valores dados para $ b_{1} $ e $ b_{2} $:
b1
Calculando isso:
b2

Resposta

A partícula alcança o ponto onde $ x $ é máximo aproximadamente em $ 3,21 $ segundos.

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