A posição de uma partícula que se move no plano é dada por:
r(t)=(2 t^3-5 t) imath+(6-7 t^4) jmath
( r em metros e t em segundo), Calcule r, v, a para t=2 s

Passo 1

O enunciado diz que a posição de uma partícula no plano é
r(t)=l(2t^3-5tr),imath ;+;l(6-7t^4r),jmath,
com t em segundos e vec r em metros. A matéria aqui é Cinemática Vetorial: posição vec r(t), velocidade vec v(t)=dfracdvec rdt e aceleração vec a(t)=dfracdvec vdt.
O que precisamos fazer:
  1. Calcular vec r(2) substituindo t=2.
  2. Derivar vec r(t) para obter vec v(t) e avaliar em t=2.
  3. Derivar vec v(t) para achar vec a(t) e avaliar em t=2.

Passo 2

Calcular vec r(2) é só substituir t=2 em cada componente:
– Componente x: 2t^3-5t vira
2,(2)^3 ;-;5,(2) =2cdot8-10=16-10=6
– Componente y: 6-7t^4 vira
6 ;-;7,(2)^4 =6-7cdot16=6-112=-106
Logo
vec r(2)=6,hatimath;-;106,hatjmath

Passo 3

Agora a velocidade vec v(t) é a derivada de vec r(t).
Regra: se vec r(t)=(x(t),y(t)), então vec v(t)=(x'(t),y'(t)).
– Derivada de x(t)=2t^3-5t:
x'(t)=ddt(2t^3)-ddt(5t) =6t^2-5
– Derivada de y(t)=6-7t^4:
y'(t)=0-;7cdot4t^3=-28t^3
Então
vec v(t)=(6t^2-5),hatimath ;+;(-28t^3),hatjmath
Agora avaliamos em t=2:
6,(2)^2-5=6cdot4-5=24-5=19, -28,(2)^3=-28cdot8=-224
Logo
vec v(2)=19,hatimath;-;224,hatjmath

Passo 4

A aceleração vec a(t) é a derivada de vec v(t).
– Derivada de 6t^2-5 em relação a t:
ddt(6t^2-5)=12t
– Derivada de -28t^3:
ddt(-28t^3)=-28cdot3t^2=-84t^2
Então
vec a(t)=12t,hatimath;+;(-84t^2),hatjmath
Avalia em t=2:
12cdot2=24, -84,(2)^2=-84cdot4=-336
Logo
vec a(2)=24,hatimath;-;336,hatjmath

Resposta

boxed vec r(2)&=6,hatimath-106,hatjmath, vec v(2)&=19,hatimath-224,hatjmath, vec a(2)&=24,hatimath-336,hatjmath

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