A posição de uma partícula que se move no plano xy é dada por r=(2,0 t^3-5,0 t) i+(6,0-7,0 t^4) j, com r em metros e t em segundos. Quais os valores do vetor posição, velocidade e aceleração após 5,0 s de movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula que se move no plano xy, dada pela equação vetorial r = (2,0, t^3 - 5,0, t) i + (6,0 - 7,0, t^4) j, onde r está em metros e t em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir os vetores de posição, velocidade e aceleração dessa partícula depois de 5,0 segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo para derivar as funções que descrevem o movimento da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada termo na equação da posição. A posição r depende do tempo t e é composta por duas partes: uma na direção x (com a componente i) e outra na direção y (com a componente j).
r(t) = (2,0, t^3 - 5,0, t) i + (6,0 - 7,0, t^4) j
Isso significa que a posição em x é 2,0, t^3 - 5,0, t e a posição em y é 6,0 - 7,0, t^4.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, para encontrar a velocidade v, derivamos cada componente de r(t) em relação a t.
Derivando a componente x:
vx(t) = ddt(2,0, t^3 - 5,0, t) = 6,0, t^2 - 5,0
Derivando a componente y:
vy(t) = ddt(6,0 - 7,0, t^4) = -28,0, t^3
Então, o vetor velocidade é:
v(t) = (6,0, t^2 - 5,0) i + (-28,0, t^3) j

Passo 4

Seguinte, vamos encontrar o vetor aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de v(t):
Derivando a componente x:
ax(t) = ddt(6,0, t^2 - 5,0) = 12,0, t
Derivando a componente y:
ay(t) = ddt(-28,0, t^3) = -84,0, t^2
Portanto, o vetor aceleração é:
a(t) = (12,0, t) i + (-84,0, t^2) j

Passo 5

Agora que temos as equações para posição, velocidade e aceleração, vamos calcular esses vetores para t = 5,0, s.
Primeiro, a posição:
r(5,0) = (2,0, (5,0)^3 - 5,0, (5,0)) i + (6,0 - 7,0, (5,0)^4) j
Calculando:
2,0 times 125,0 - 5,0 times 5,0 = 250,0 - 25,0 = 225,0, m
6,0 - 7,0 times 625,0 = 6,0 - 4375,0 = -4369,0, m
Então,
r(5,0) = 225,0, i - 4369,0, j, m
Agora, a velocidade:
v(5,0) = (6,0, (5,0)^2 - 5,0) i + (-28,0, (5,0)^3) j
Calculando:
6,0 times 25,0 - 5,0 = 150,0 - 5,0 = 145,0, m/s
-28,0 times 125,0 = -3500,0, m/s
Então,
v(5,0) = 145,0, i - 3500,0, j, m/s
Finalmente, a aceleração:
a(5,0) = (12,0, times 5,0) i + (-84,0, times (5,0)^2) j
Calculando:
12,0 times 5,0 = 60,0, m/s^2
-84,0 times 25,0 = -2100,0, m/s^2
Então,
a(5,0) = 60,0, i - 2100,0, j, m/s^2

Resposta

Após 5,0 segundos de movimento, os vetores são:
  • Posição: r = 225,0, i - 4369,0, j, m
  • Velocidade: v = 145,0, i - 3500,0, j, m/s
  • Aceleração: a = 60,0, i - 2100,0, j, m/s^2

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