A posição de uma partícula que se move no plano xy é dada por
, com
em metros e t em segundos. Quais os valores do vetor posição, velocidade e aceleração após 5,0 s de movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula que se move no plano xy, dada pela equação vetorial
, onde
está em metros e
em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir os vetores de posição, velocidade e aceleração dessa partícula depois de 5,0 segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo para derivar as funções que descrevem o movimento da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada termo na equação da posição. A posição
depende do tempo
e é composta por duas partes: uma na direção
(com a componente
) e outra na direção
(com a componente
).
Isso significa que a posição em
é
e a posição em
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, para encontrar a velocidade
, derivamos cada componente de
em relação a
.
Derivando a componente
:
Derivando a componente
:
Então, o vetor velocidade é:
Passo 4
Seguinte, vamos encontrar o vetor aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de
:
Derivando a componente
:
Derivando a componente
:
Portanto, o vetor aceleração é:
Passo 5
Agora que temos as equações para posição, velocidade e aceleração, vamos calcular esses vetores para
.
Primeiro, a posição:
Calculando:
Então,
Agora, a velocidade:
Calculando:
Então,
Finalmente, a aceleração:
Calculando:
Então,
Resposta
Após 5,0 segundos de movimento, os vetores são:
- Posição:
- Velocidade:
- Aceleração: