A posição de uma partícula que se move no plano xy é dada por r=(2,0 t^3-5,0 t) i+(6,0-7,0 t^4) j, com r em metros e t em segundos.
(a) Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula.
(b) Quais os valores do vetor posição, velocidade e aceleração após 5,0 s de movimento.
© Determine o módulo e a direção do vetor velocidade 8,0 s após o lançamento.
(d) Determine o módulo e a direção do vetor deslocamento entre t=2,0 s e t = 6,0 s.

Passo 1

Beleza, manda ver no resumo do enunciado: a posição de uma partícula no plano é dada por
vec r(t) = l(2,0,t^3 - 5,0,tr),hatimath ;+;l(6,0 - 7,0,t^4r),hatjmath
Tudo em metros e segundos. O que a gente vai fazer:
• Conteúdo: derivadas de funções para vetores (velocidade é dfracdvec rdt, aceleração é dfracdvec vdt). Também plugamos valores de t e calculamos módulo e direção de vetores (usando raizx^2+y^2 e theta=arctan(y/x)).
• O que precisamos: regras básicas de derivada ( dfracddtt^n = n,t^n-1), avaliação em instantes específicos, e trigonometria pra direção.

Passo 2

Parte (a) – vetor velocidade e aceleração
  1. Derivada componente a componente:
    rx(t)=2t^3-5t ;Rightarrow; vx(t)=ddt(2t^3-5t)=6t^2-5.
    ry(t)=6-7t^4 ;Rightarrow; vy(t)=ddt(6-7t^4)=-28t^3.
    Então vec v(t) = (6t^2-5),hatimath + (-28t^3),hatjmath
  2. Agora aceleração é derivada de vec v(t):
    vx(t)=6t^2-5 ;Rightarrow; ax(t)=12t.
    vy(t)=-28t^3 ;Rightarrow; ay(t)=-84t^2.
    Logo vec a(t) = 12t,hatimath ;+;-84t^2,hatjmath

Passo 3

Parte (b) – valores em t=5,0,s
Basta substituir t=5 nas fórmulas de vec r,vec v,vec a:
  1. Posição: rx(5)=2cdot5^3 - 5cdot5 = 250-25=225, ry(5)=6 -7cdot5^4 =6 -7cdot625=6-4375=-4369 vec r(5)=(225,-4369), m
  2. Velocidade: vx(5)=6cdot5^2-5=6cdot25-5=150-5=145, vy(5)=-28cdot5^3=-28cdot125=-3500 vec v(5)=(145,-3500),m/s
  3. Aceleração: ax(5)=12cdot5=60, ay(5)=-84cdot5^2=-84cdot25=-2100 vec a(5)=(60,-2100),m/s^2

Passo 4

Parte © – módulo e direção de vec v em t=8,0,s
  1. Primeiro a gente acha vec v(8): vx(8)=6cdot8^2-5=6cdot64-5=384-5=379, vy(8)=-28cdot8^3=-28cdot512=-14336
  2. Módulo: |vec v(8)|=raiz379^2+(-14336)^2 approx raiz143 641 + 205 520 896 approx 1,434times10^4;m/s
  3. Direção (ângulo em relação ao eixo x positivo): theta = arctan!l(tfracvyvxr) = arctan!l(tfrac-14336379r) approx -88,5^circ

Passo 5

Parte (d) – deslocamento entre t=2,0,s e t=6,0,s
  1. Posição em 6 s: rx(6)=2cdot6^3-5cdot6=432-30=402, ry(6)=6-7cdot6^4=6-7cdot1296=6-9072=-9066
  2. Posição em 2 s: rx(2)=2cdot2^3-5cdot2=16-10=6, ry(2)=6-7cdot2^4=6-7cdot16=6-112=-106
  3. Deslocamento De: De
  4. Módulo de De: |De
  5. Direção: phi = arctan!l(tfrac-8960396r) approx -86,9^circ

Resposta

(a) vec v(t) = (6t^2-5),hatimath +(-28t^3),hatjmath, vec a(t) = 12t,hatimath +(-84t^2),hatjmath
(b) Em t=5,0,s:
vec r=(225,-4369),m,
vec v=(145,-3500),m/s,
vec a=(60,-2100),m/s².
© Em t=8,0,s:
vec v=(379,-14336),m/s,
|vec v|approx1,434times10^4,m/s,
thetaapprox-88,5^circ
(d) Deslocamento de 2,0 s a 6,0 s:
Dem,
|Dem,
phiapprox-86,9^circ

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