A posiçāo de uma partícula movendo-se ao longo do eixo
depende do tempo de acordo com a expressāo.
onde
é dado em pés e
em segundos. (a) Que dimensōes e unidades
e
devem ter? Suponha que os seus valores numéricos sejam, respectivamente, 3,0 e 1,0.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se movimenta ao longo do eixo $ x $ com a posição dada pela equação:
Aqui, $ x $ está em pés e $ t $ em segundos. Precisamos descobrir quais são as dimensões e unidades das constantes $ a $ e $ b $ para que a equação faça sentido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para a equação estar correta, as unidades de cada termo à direita devem ser iguais às do lado esquerdo. Ou seja, $ a t^{2} $ e $ b t^{3} $ devem ter a mesma unidade que $ x $, que é pés.
Passo 3
Vamos analisar o termo $ a t^{2} $:
- $ t $ está em segundos ($ s $).
- $ t^{2} $ então está em $ s^{2} $.
- Como $ a t^{2} $ deve estar em pés ($ ft $), a unidade de $ a $ deve ser tal que, multiplicada por $ s^{2} $, resulte em $ ft $.
Matematicamente:
Então:
Passo 4
Agora, vamos analisar o termo $ b t^{3} $:
- $ t $ está em segundos ($ s $).
- $ t^{3} $ então está em $ s^{3} $.
- Como $ b t^{3} $ deve estar em pés ($ ft $), a unidade de $ b $ deve ser tal que, multiplicada por $ s^{3} $, resulte em $ ft $.
Matematicamente:
Então:
Passo 5
Agora que temos as unidades, vamos ver as dimensões. Em física, as dimensões de comprimento são representadas por $ L $ e tempo por $ T $.
- Para $ a $:
- Para $ b $:
Resposta
A constante $ a $ tem dimensões de $ L T^{-2} $ e unidade de pés por segundo ao quadrado ($ \frac{ft}{s^{2}} $). A constante $ b $ tem dimensões de $ L T^{-3} $ e unidade de pés por segundo ao cubo ($ \frac{ft}{s^{3}} $).