A posiçāo de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a expressāo.
x=a t^2-b t^3
onde x é dado em pés e t em segundos. (e) Qual é a velocidade escalar da partícula ao final de cada um dos quatro primeiros segundos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a posição de uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ dependendo do tempo. A equação dada é $ x = a t^{2} - b t^{3} $, onde $ x $ está em pés e $ t $ em segundos. O objetivo aqui é encontrar a velocidade escalar dessa partícula ao final de cada um dos quatro primeiros segundos. Para isso, vamos precisar entender de cinemática, especificamente como a posição e a velocidade estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade de uma partícula é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $. Então, vamos derivar a expressão dada para $ x(t) $:
v(t)
Dada a posição:
x(t)
Vamos derivar termo por termo.

Passo 3

Derivando o primeiro termo $ a t^{2} $:
A derivada de $ t^{n} $ em relação a $ t $ é $ n t^{n-1} $. Então,
a t^2
Derivando o segundo termo $ -b t^{3} $:
t^n

Passo 4

Agora, juntando as derivadas dos dois termos, a velocidade $ v(t) $ é:
v(t)

Passo 5

Para encontrar a velocidade ao final de cada um dos quatro primeiros segundos, vamos substituir $ t = 1, 2, 3, 4 $ na expressão de $ v(t) $:
  • Para $ t = 1 $ segundo:
t = 1, 2, 3, 4
  • Para $ t = 2 $ segundos:
v(t)
  • Para $ t = 3 $ segundos:
t = 1
  • Para $ t = 4 $ segundos:
v(1) = 2a(1) - 3b(1)^2 = 2a - 3b

Resposta

A velocidade escalar da partícula ao final de cada um dos quatro primeiros segundos é:
  • Após 1 segundo: $ v(1) = 2a - 3b $ pés por segundo
  • Após 2 segundos: $ v(2) = 4a - 12b $ pés por segundo
  • Após 3 segundos: $ v(3) = 6a - 27b $ pés por segundo
  • Após 4 segundos: $ v(4) = 8a - 48b $ pés por segundo

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