A posiçāo de uma partícula movendo-se ao longo do eixo
depende do tempo de acordo com a expressāo.
onde
é dado em pés e
em segundos. (b) Para que instante a partícula atinge a posiçāo
máxima?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ com a posição $ x $ dependendo do tempo $ t $ pela fórmula:
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes, $ x $ está em pés e $ t $ em segundos. A pergunta é: Em que instante $ t $ a partícula atinge a posição máxima $ x $?
Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esse instante.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma expressão que nos diga como a posição $ x $ muda com o tempo. Para isso, vamos calcular a derivada de $ x $ em relação a $ t $, que representa a velocidade da partícula.
A derivada de $ x $ é:
Passo 3
Para encontrar o ponto máximo da posição, devemos descobrir quando a velocidade $ \frac{dx}{dt} $ é zero, pois nesse ponto a partícula para de subir e começa a descer.
Então, igualamos a derivada a zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ t $:
Fatorando $ t $:
Isso nos dá duas soluções:
- $ t = 0 $ segundos
- $ 2a - 3b t = 0 $ ⇒ $ t = \frac{2a}{3b} $ segundos
Passo 5
Analisando as soluções:
- $ t = 0 $ é o instante inicial, onde a posição é zero.
- $ t = \frac{2a}{3b} $ é o instante onde a partícula atinge a posição máxima.
Resposta
A partícula atinge a posição máxima no instante: