A posiçāo de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a expressāo.
x=a t^2-b t^3
onde x é dado em pés e t em segundos. (b) Para que instante a partícula atinge a posiçāo x máxima?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ com a posição $ x $ dependendo do tempo $ t $ pela fórmula:
x
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes, $ x $ está em pés e $ t $ em segundos. A pergunta é: Em que instante $ t $ a partícula atinge a posição máxima $ x $?
Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esse instante.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma expressão que nos diga como a posição $ x $ muda com o tempo. Para isso, vamos calcular a derivada de $ x $ em relação a $ t $, que representa a velocidade da partícula.
A derivada de $ x $ é:
x

Passo 3

Para encontrar o ponto máximo da posição, devemos descobrir quando a velocidade $ \frac{dx}{dt} $ é zero, pois nesse ponto a partícula para de subir e começa a descer.
Então, igualamos a derivada a zero:
dxdt

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ t $:
Fatorando $ t $:
t
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ t = 0 $ segundos
  2. $ 2a - 3b t = 0 $ ⇒ $ t = \frac{2a}{3b} $ segundos

Passo 5

Analisando as soluções:
  • $ t = 0 $ é o instante inicial, onde a posição é zero.
  • $ t = \frac{2a}{3b} $ é o instante onde a partícula atinge a posição máxima.

Resposta

A partícula atinge a posição máxima no instante:
t = 2a3b segundos

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