A posiçāo de uma partícula movendo-se ao longo do eixo
depende do tempo de acordo com a expressāo.
onde
é dado em pés e
em segundos. © Qual é o co mprimento do caminho percorrido pela partícula nos primeiros 4,0 segundos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a posição de uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ em função do tempo $ t $. A equação dada é:
Aqui, $ x $ está em pés e $ t $ em segundos. A matéria que vamos usar para resolver esse exercício envolve cinemática, especificamente cálculo do comprimento do caminho percorrido por uma partícula em movimento. Para isso, precisamos entender conceitos como velocidade, aceleração e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos $ x $ em relação a $ t $:
Passo 3
Agora que temos a velocidade $ v(t) = 2a t - 3b t^{2} $, precisamos encontrar o comprimento do caminho percorrido nos primeiros 4 segundos. O comprimento do caminho $ S $ é dado pela integral do valor absoluto da velocidade ao longo do intervalo de tempo considerado:
Passo 4
Para resolver essa integral, precisamos verificar se a velocidade muda de sinal no intervalo de 0 a 4 segundos. Isso acontece quando $ v(t) = 0 $:
Das soluções, temos $ t = 0 $ e $ t = \frac{2a}{3b} $. Se $ \frac{2a}{3b} $ estiver entre 0 e 4, teremos que dividir a integral nesses pontos. Caso contrário, a velocidade manterá o mesmo sinal ao longo de todo o intervalo.
Passo 5
Assumindo que $ \frac{2a}{3b} $ está dentro de 0 a 4 segundos, o comprimento do caminho será a soma das integrais em cada subintervalo onde a velocidade mantém sinal constante:
Dentro de cada intervalo, podemos eliminar o valor absoluto considerando o sinal da velocidade.
Passo 6
Calculando as integrais:
Para $ 0 \leq t \leq \frac{2a}{3b} $, supondo que $ 2a t - 3b t^{2} \geq 0 $:
Simplificando:
Para $ \frac{2a}{3b} \leq t \leq 4 $, supondo que $ 2a t - 3b t^{2} \leq 0 $:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, somando as duas partes:
Resposta
O comprimento do caminho percorrido pela partícula nos primeiros 4 segundos é dado por: