A posiçāo de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a expressāo.
x=a t^2-b t^3
onde x é dado em pés e t em segundos. © Qual é o co mprimento do caminho percorrido pela partícula nos primeiros 4,0 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a posição de uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ em função do tempo $ t $. A equação dada é:
x
Aqui, $ x $ está em pés e $ t $ em segundos. A matéria que vamos usar para resolver esse exercício envolve cinemática, especificamente cálculo do comprimento do caminho percorrido por uma partícula em movimento. Para isso, precisamos entender conceitos como velocidade, aceleração e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos $ x $ em relação a $ t $:
x

Passo 3

Agora que temos a velocidade $ v(t) = 2a t - 3b t^{2} $, precisamos encontrar o comprimento do caminho percorrido nos primeiros 4 segundos. O comprimento do caminho $ S $ é dado pela integral do valor absoluto da velocidade ao longo do intervalo de tempo considerado:
v(t) = 2a t - 3b t^2

Passo 4

Para resolver essa integral, precisamos verificar se a velocidade muda de sinal no intervalo de 0 a 4 segundos. Isso acontece quando $ v(t) = 0 $:
v(t) = 0
Das soluções, temos $ t = 0 $ e $ t = \frac{2a}{3b} $. Se $ \frac{2a}{3b} $ estiver entre 0 e 4, teremos que dividir a integral nesses pontos. Caso contrário, a velocidade manterá o mesmo sinal ao longo de todo o intervalo.

Passo 5

Assumindo que $ \frac{2a}{3b} $ está dentro de 0 a 4 segundos, o comprimento do caminho será a soma das integrais em cada subintervalo onde a velocidade mantém sinal constante:
2a3b
Dentro de cada intervalo, podemos eliminar o valor absoluto considerando o sinal da velocidade.

Passo 6

Calculando as integrais:
Para $ 0 \leq t \leq \frac{2a}{3b} $, supondo que $ 2a t - 3b t^{2} \geq 0 $:
0 <= t <= 2a3b
Simplificando:
2a t - 3b t^2 >= 0
Para $ \frac{2a}{3b} \leq t \leq 4 $, supondo que $ 2a t - 3b t^{2} \leq 0 $:
integral0^2a3b (2a t - 3b t^2) , dt = [ a t^2 - b t^3 ]0^2a3b = a (2a3b)^2 - b (2a3b)^3
Simplificando:
= a (4a^29b^2) - b (8a^327b^3) = 4a^39b^2 - 8a^327b^2 = 12a^3 - 8a^327b^2 = 4a^327b^2

Passo 7

Finalmente, somando as duas partes:
S = 4a^327b^2 + 64b - 16a + 4a^327b^2 = 64b - 16a + 8a^327b^2

Resposta

O comprimento do caminho percorrido pela partícula nos primeiros 4 segundos é dado por:
S = 64b - 16a + 8a^327b^2 pés é

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