A posição de uma pedra caindo de um penhasco é descrita aproximadamente por uma equação x=5 t^2, onde x está em metros medidos a partir da posição inicial em t=0, onde t está em segundos. Encontre a velocidade em qualquer tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma pedra que está caindo de um penhasco, e a posição dela em qualquer instante de tempo é dada pela equação $ x = 5t^{2} $, onde $ x $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade da pedra em qualquer momento $ t $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade é basicamente como a posição muda no tempo. Em cálculo, a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se a posição é $ x(t) $, então a velocidade $ v(t) $ é dada por $ v(t) = \frac{dx}{dt} $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na equação que temos. A posição é $ x = 5t^{2} $. Para encontrar a velocidade, vamos derivar essa equação em relação a $ t $:
x = 5t^2

Passo 4

Vamos calcular essa derivada. A derivada de $ t^{2} $ em relação a $ t $ é $ 2t $, então:
t^2

Resposta

A velocidade da pedra em qualquer tempo $ t $ é $ v(t) = 10t $ metros por segundo.

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