A posição de uma pedra caindo de um penhasco é descrita aproximadamente por uma equação
, onde
está em metros medidos a partir da posição inicial em
, onde
está em segundos. Encontre a velocidade em qualquer tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma pedra que está caindo de um penhasco, e a posição dela em qualquer instante de tempo é dada pela equação $ x = 5t^{2} $, onde $ x $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade da pedra em qualquer momento $ t $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a velocidade é basicamente como a posição muda no tempo. Em cálculo, a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se a posição é $ x(t) $, então a velocidade $ v(t) $ é dada por $ v(t) = \frac{dx}{dt} $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na equação que temos. A posição é $ x = 5t^{2} $. Para encontrar a velocidade, vamos derivar essa equação em relação a $ t $:
Passo 4
Vamos calcular essa derivada. A derivada de $ t^{2} $ em relação a $ t $ é $ 2t $, então:
Resposta
A velocidade da pedra em qualquer tempo $ t $ é $ v(t) = 10t $ metros por segundo.