A posição r de uma partícula que se move em um plano
é dada por
com
metros e
em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule (a)
, (b)
e (c)
para
. (d) Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo
e uma reta tangente à trajetória da partícula em
?
Passo 1
O enunciado fornece a posição de uma partícula no plano
em função do tempo.
Precisamos calcular
(a) , (b)
e (c)
no instante
s, e
(d) o ângulo entre o eixo positivo e a reta tangente à trajetória em
s.
O conceito-chave é usar derivadas de cada componente de posição para obter velocidade e aceleração e a fórmula da tangente para o ângulo de inclinação.
(a)
(d) o ângulo entre o eixo
O conceito-chave é usar derivadas de cada componente de posição para obter velocidade e aceleração e a fórmula da tangente para o ângulo de inclinação.
Passo 2
Para encontrar
em
s substituímos na expressão de
. A componente
é
e a componente
é
Portanto
em metros.
Passo 3
A velocidade
é a derivada de
. Derivando cada componente,
Em
s temos
Logo
em m/s.
Passo 4
A aceleração
é a derivada de
. Derivando novamente,
Em
s obtemos
Desta forma
em m/
.
Passo 5
O ângulo
entre o eixo
positivo e a reta tangente (direção de
) é dado por
Substituindo
e
,
O sinal negativo indica que a tangente está
abaixo do eixo
; em medida anti-horária isso corresponde a
.
Resposta
(a)
m
(b) m/s
(c) m/
(d) (ou
no sentido anti-horário)
(b)
(c)
(d)