A posição r de uma partícula que se move em um plano x y é dada por r=(2,0 t^3-4,0 t) i+(3,0-t^4) j com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule (a) r, (b) v e (c) a para t=2,0 s. (d) Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t =2,0 s ?

Passo 1

O enunciado fornece a posição de uma partícula no plano xy em função do tempo.
vec r(t) = l(2,t^3 - 4,tr),hat i ;+;l(3 - t^4r),hat j
Precisamos calcular
(a) vec r, (b) vec v e (c) vec a no instante t=2,0 s, e
(d) o ângulo entre o eixo x positivo e a reta tangente à trajetória em t=2,0 s.
O conceito-chave é usar derivadas de cada componente de posição para obter velocidade e aceleração e a fórmula da tangente para o ângulo de inclinação.

Passo 2

Para encontrar vec r em t=2,0 s substituímos na expressão de vec r(t). A componente x é
x(2) = 2cdot2^3 - 4cdot2 = 16 - 8 = 8
e a componente y é
y(2) = 3 - 2^4 = 3 - 16 = -13
Portanto
vec r(2) = 8,hat i - 13,hat j
em metros.

Passo 3

A velocidade vec v(t) é a derivada de vec r(t). Derivando cada componente,
vx(t) = ddtl(2t^3 - 4tr) = 6t^2 - 4, vy(t) = ddtl(3 - t^4r) = -4t^3
Em t=2,0 s temos
vx(2) = 6cdot2^2 - 4 = 24 - 4 = 20, vy(2) = -4cdot2^3 = -32
Logo
vec v(2) = 20,hat i - 32,hat j
em m/s.

Passo 4

A aceleração vec a(t) é a derivada de vec v(t). Derivando novamente,
ax(t) = ddt(6t^2 - 4) = 12t, ay(t) = ddt(-4t^3) = -12t^2
Em t=2,0 s obtemos
ax(2) = 12cdot2 = 24, ay(2) = -12cdot2^2 = -48
Desta forma
vec a(2) = 24,hat i - 48,hat j
em m/ s^2.

Passo 5

O ângulo theta entre o eixo x positivo e a reta tangente (direção de vec v) é dado por
theta = arctan!l(tfracvyvxr)
Substituindo vx=20 e vy=-32,
theta = arctan!l(tfrac-3220r) approx arctan(-1,6) approx -58^circ
O sinal negativo indica que a tangente está 58^circ abaixo do eixo x; em medida anti-horária isso corresponde a 302^circ.

Resposta

(a) vec r(2)=8,hat i -13,hat j m
(b) vec v(2)=20,hat i -32,hat j m/s
(c) vec a(2)=24,hat i -48,hat j m/ s^2
(d) thetaapprox -58^circ (ou 302^circ no sentido anti-horário)

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