(a) Posicione o par de pontos
e
no plano complexo, com
.
(b) Em geral, como você descreveria, geometricamente, a relação entre um número complexo
e seu conjugado
?
© Descreva, geometricamente, a relação entre
e
.
(b) Em geral, como você descreveria, geometricamente, a relação entre um número complexo
© Descreva, geometricamente, a relação entre
Passo 1
O enunciado pede para posicionar no plano complexo os pontos z = a + i b e seu conjugado
em cada um dos quatro casos de sinais de a e b, depois descrever geometricamente a relação entre z e
e, por fim, entre z e
. O conteúdo é geometria de números complexos, especialmente simetria por conjugação e reflexão.
Passo 2
Primeiro vamos notar que o número complexo
corresponde ao ponto de coordenadas
no plano, e o conjugado
corresponde ao ponto
.
Passo 3
Para responder a parte (a), basta identificar em que quadrante fica
e em que quadrante fica
nos quatro casos:
- Se
, então está no 1º quadrante e no 4º quadrante. - Se
, então está no 4º quadrante e no 1º quadrante. - Se
, então está no 2º quadrante e no 3º quadrante. - Se
, então está no 3º quadrante e no 2º quadrante.
Passo 4
Na parte (b), a observação geral é que trocar
por
espelha o ponto em relação ao eixo real. Logo,
é o espelho de z sobre o eixo dos reais.
Passo 5
Na parte ©, o número
corresponde ao ponto
, que é exatamente o reflexo de z = (a,b) em relação ao eixo imaginário.
Resposta
(a) z=(a,b) e
:
• a>0,b>0 → z no 1º quadrante, no 4º;
• a>0,b<0 → z no 4º, no 1º;
• a<0,b>0 → z no 2º, no 3º;
• a<0,b<0 → z no 3º, no 2º.
(b) é o espelho de z em relação ao eixo real (simetria horizontal).
© z₁ é o espelho de z em relação ao eixo imaginário (simetria vertical).
• a>0,b>0 → z no 1º quadrante,
• a>0,b<0 → z no 4º,
• a<0,b>0 → z no 2º,
• a<0,b<0 → z no 3º,
(b)
© z₁ é o espelho de z em relação ao eixo imaginário (simetria vertical).