(a) Posicione o par de pontos z=a+i b e barz=a-i b no plano complexo, com a>0, b>0 ; a>0, b<0 ; a< 0, b>0 ; a<0, b<0.
(b) Em geral, como você descreveria, geometricamente, a relação entre um número complexo z=a+i b e seu conjugado barz=a-i b ?
© Descreva, geometricamente, a relação entre z=a+i b e z1=-a+i b.

Passo 1

O enunciado pede para posicionar no plano complexo os pontos z = a + i b e seu conjugado z = a - i b em cada um dos quatro casos de sinais de a e b, depois descrever geometricamente a relação entre z e z e, por fim, entre z e z1 = -a + i b. O conteúdo é geometria de números complexos, especialmente simetria por conjugação e reflexão.

Passo 2

Primeiro vamos notar que o número complexo z = a + i b corresponde ao ponto de coordenadas (a,b) no plano, e o conjugado z = a - i b corresponde ao ponto (a,-b).

Passo 3

Para responder a parte (a), basta identificar em que quadrante fica (a,b) e em que quadrante fica (a,-b) nos quatro casos:
  • Se a>0, b>0, então z=(a,b) está no 1º quadrante e z=(a,-b) no 4º quadrante.
  • Se a>0, b<0, então z=(a,b) está no 4º quadrante e z=(a,-b) no 1º quadrante.
  • Se a<0, b>0, então z=(a,b) está no 2º quadrante e z=(a,-b) no 3º quadrante.
  • Se a<0, b<0, então z=(a,b) está no 3º quadrante e z=(a,-b) no 2º quadrante.

Passo 4

Na parte (b), a observação geral é que trocar b por -b espelha o ponto em relação ao eixo real. Logo, z é o espelho de z sobre o eixo dos reais.

Passo 5

Na parte ©, o número z1 = -a + i b corresponde ao ponto (-a,b), que é exatamente o reflexo de z = (a,b) em relação ao eixo imaginário.

Resposta

(a) z=(a,b) e z=(a,-b):
• a>0,b>0 → z no 1º quadrante, z no 4º;
• a>0,b<0 → z no 4º, z no 1º;
• a<0,b>0 → z no 2º, z no 3º;
• a<0,b<0 → z no 3º, z no 2º.
(b) z é o espelho de z em relação ao eixo real (simetria horizontal).
© z₁ é o espelho de z em relação ao eixo imaginário (simetria vertical).

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