Como você descreveria, geometricamente, a relação entre um número complexo não nulo
e seu
(a) negativo,
?
(b) inverso,
? [Sugestão: reveja o Problema 33 e escreva
.]
(a) negativo,
(b) inverso,
Passo 1
A questão pede uma interpretação geométrica de um número complexo não nulo
e seu negativo
e seu inverso
. O conteúdo envolvido é o plano de Argand (plano complexo), em que cada número
é um ponto
ou um vetor a partir da origem, usando as noções de módulo
e argumento
.
Passo 2
Para (a), observe que negar um vetor em
corresponde a inverter sua direção sem alterar seu comprimento. Em coordenadas, se
, então
Geometricamente, isso é uma rotação de
em torno da origem, ou equivalente ao simétrico de
em relação à origem.
Passo 3
Para (b), usamos a fórmula sugerida:
Passo a passo: primeiro a conjugada
reflete o ponto
no eixo real; depois a divisão por
reduz o módulo de
para
. Logo,
tem módulo
e argumento
Isso significa que, no plano, obtemos
refletindo
no eixo real e depois contraindo-o pelo fator
.
Resposta
(a)
é o ponto simétrico a
em relação à origem, equivalente a uma rotação de 180° em torno da origem, mantendo o mesmo módulo. (b)
é o ponto obtido refletindo
no eixo real (conjugação) e, em seguida, contraindo o vetor pelo fator
; equivalentemente, seu módulo é
e seu argumento é
.