Como você descreveria, geometricamente, a relação entre um número complexo não nulo z=a+i b e seu
(a) negativo, -z ?
(b) inverso, z^-1 ? [Sugestão: reveja o Problema 33 e escreva z^-1=barz /|z|^2.]

Passo 1

A questão pede uma interpretação geométrica de um número complexo não nulo z=a+ib e seu negativo -z e seu inverso z^-1. O conteúdo envolvido é o plano de Argand (plano complexo), em que cada número x+iy é um ponto (x,y) ou um vetor a partir da origem, usando as noções de módulo |z| e argumento arg z.

Passo 2

Para (a), observe que negar um vetor em R^2 corresponde a inverter sua direção sem alterar seu comprimento. Em coordenadas, se z=(a,b), então
-z=(-a,-b)
Geometricamente, isso é uma rotação de 180^circ em torno da origem, ou equivalente ao simétrico de z em relação à origem.

Passo 3

Para (b), usamos a fórmula sugerida:
z^-1=z|z|^2
Passo a passo: primeiro a conjugada z=a-ib reflete o ponto (a,b) no eixo real; depois a divisão por |z|^2 reduz o módulo de |z| para 1/|z|. Logo, z^-1 tem módulo
|z^-1|=1|z|
e argumento
arg(z^-1)=-arg(z)
Isso significa que, no plano, obtemos z^-1 refletindo z no eixo real e depois contraindo-o pelo fator 1/|z|.

Resposta

(a) -z é o ponto simétrico a z em relação à origem, equivalente a uma rotação de 180° em torno da origem, mantendo o mesmo módulo. (b) z^-1 é o ponto obtido refletindo z no eixo real (conjugação) e, em seguida, contraindo o vetor pelo fator 1/|z|; equivalentemente, seu módulo é 1/|z| e seu argumento é -arg(z).

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