Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo:
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por uma integral:
. A missão é encontrar a derivada dessa função em relação a
. Para isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo, mais especificamente a parte que lida com derivadas de integrais cujo limites dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que
é uma função definida por uma integral com limites que dependem de
. Nesse caso, o limite inferior é
e o limite superior é uma constante,
. A função dentro da integral é
.
Passo 3
Quando temos uma integral com limites que dependem de
, usamos a Regra de Leibniz para encontrar a derivada. A fórmula da Regra de Leibniz é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da Regra de Leibniz:
-
Função no limite superior:Mas
, então . Comoé uma constante, . -
Função no limite inferior:E a derivada de
é .
Passo 5
Agora, aplicando a Regra de Leibniz:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função é
.