Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo: g(x)=integralraizx^pi4 theta tg theta d theta

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por uma integral: . A missão é encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo, mais especificamente a parte que lida com derivadas de integrais cujo limites dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é uma função definida por uma integral com limites que dependem de . Nesse caso, o limite inferior é e o limite superior é uma constante, . A função dentro da integral é .

Passo 3

Quando temos uma integral com limites que dependem de ddx ( integrala(x)^b(x) f(theta) , dtheta ) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , usamos a Regra de Leibniz para encontrar a derivada. A fórmula da Regra de Leibniz é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular cada parte da Regra de Leibniz:
  1. Função no limite superior:
    Mas , então .
    Como é uma constante, .
  2. Função no limite inferior:
    E a derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de Leibniz:
g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
g'(x) = pi4 cdot 0 - raizx tan( raizx ) cdot 12raizx
Simplificando:
g'(x) = - 12 tan( raizx )

Resposta

A derivada da função é .

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