Se possivel, determine a soma da série
\sum_{n=0}\left[2^{-2 \cdot 7^{-(n+1)}} 7^{-(n+1)}\right]

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl[2^{-2\cdot7^{-(n+1)}}\,7^{-(n+1)}\Bigr].
O conteúdo aqui é séries numéricas: vamos primeiro verificar convergência e depois aproximar a soma com soma parcial, pois não há forma elementar fechada.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Denotando
a_n = 7^{-(n+1)}\,2^{-2\cdot7^{-(n+1)}},
temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{7^{-(n+2)}\,2^{-2\cdot7^{-(n+2)}}}{7^{-(n+1)}\,2^{-2\cdot7^{-(n+1)}}} = \frac{1}{7}\;2^{-2\bigl(7^{-(n+2)}-7^{-(n+1)}\bigr)}.
Como 7^{-(n+2)}-7^{-(n+1)}\to0 quando n\to\infty, o fator exponencial tende a 2^0=1. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{7}<1,
e a série converge absolutamente.

Passo 3

Para obter o valor numérico da soma, calculamos somas parciais
S_N=\sum_{n=0}^{N}a_n
até que o termo a_{N+1} seja pequeno o suficiente.

Passo 4

Calculando termos e somas parciais: n=0:
a_0 = 7^{-1}\,2^{-2/7}\approx0{,}1428571\cdot0{,}8203\approx0{,}11718,\quad S_0\approx0{,}11718. n=1:
a_1 = 7^{-2}\,2^{-2/49}\approx0{,}0204082\cdot0{,}9721\approx0{,}01983,\quad S_1\approx0{,}13701. n=2:
a_2\approx0{,}0029155\cdot0{,}9960\approx0{,}002904,\quad S_2\approx0{,}13991. n=3:
a_3\approx0{,}00041649\cdot0{,}99942\approx0{,}00041624,\quad S_3\approx0{,}14033. n=4:
a_4\approx5{,}9499\times10^{-5},\quad S_4\approx0{,}14039. n=5:
a_5\approx8{,}4998\times10^{-6},\quad S_5\approx0{,}140397. n=6:
a_6\approx1{,}2140\times10^{-6},\quad S_6\approx0{,}140399.
Os termos já são da ordem de 10^{-6} a partir de n=6.

Passo 5

Como os termos decrescem rapidamente, em torno de n=7 8 a soma já está estável em seis casas decimais.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}2^{-2\cdot7^{-(n+1)}}\,7^{-(n+1)}\approx0{,}14040.

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