É possível que duas partículas que se movem sobre as curvas r(t)=t^2 i+(7 t-12) j+t k e s(t)=(5 t-6) i+t j+t^3 k, t >= 0, colidirem? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá duas trajetórias paramétricas no espaço, para t>=0:
vec r(t) = l(t^2,,7t-12,,tr), vec s(u) = l(5u-6,,u,,u^3r)
Queremos saber se existe algum par (t,u) com t>=0 e u>=0 tal que
vec r(t) = vec s(u),
isto é, se as partículas podem ocupar o mesmo ponto ao mesmo tempo.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, a colisão exigiria
t^2 = 5u - 6, 7t - 12 = u, t = u^3

Passo 3

Da segunda equação isolamos u:
u = 7t - 12

Passo 4

Substituindo u = 7t-12 na primeira equação obtemos
t^2 = 5(7t - 12) - 6 Longrightarrow t^2 = 35t - 60 - 6 Longrightarrow t^2 - 35t + 66 = 0
O discriminante é De<a = 35^2 - 4cdot66 = 961 = 31^2, logo
t = 35 pm 312 Longrightarrow t1 = 2, ;; t2 = 33
Para cada um, u = 7t - 12 u1=2 e u2=219, ambos não negativos.

Passo 5

Falta verificar a terceira equação t = u^3:
  • Para (t1,u1)=(2,2) temos u1^3=8neq 2.
  • Para (t2,u2)=(33,219) temos u2^3=(219)^3neq 33.
    Nenhum par satisfaz todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Não. Não existe par de instantes t>=0 e u>=0 que faça vec r(t)=vec s(u), logo as partículas não colidem.

Exercícios relacionados