Sejam p(t) e q(t) funçoes contínuas em R. Sabendo-se que y1(t)=t e y2(t)=t^2 são soluções fundamentais da equação diferencial t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, para t>0, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=-4 t ?
y(t)=-2 t^3.

Passo 1

O enunciado dá a equação não homogênea
t^2y'' + p(t),y' + q(t),y = -4t
em t>0, sabendo que as duas soluções fundamentais da homogênea
t^2y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
são
y1(t)=t, y2(t)=t^2
O objetivo é encontrar uma solução particular yp(t) da não homogênea. Para isso vamos usar o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Calculemos o Wronskiano das soluções fundamentais:
W(t) = y1 & y2 y1' & y2' = t & t^2 1 & 2t = tcdot2t - 1cdot t^2 = t^2
A fórmula de variação de parâmetros para
a2(t)y''+a1(t)y'+a0(t)y = g(t)
yp(t) = -y1(t)integral y2(t),g(t)a2(t),W(t),dt + y2(t)integral y1(t),g(t)a2(t),W(t),dt
Aqui a2(t)=t^2 e g(t)=-4t.

Passo 3

Calculemos os coeficientes dentro das integrais:
y2(t),g(t)a2(t),W(t) =t^2cdot(-4t)t^2cdot t^2 =-4t^3t^4 =-4t,
y1(t),g(t)a2(t),W(t) =tcdot(-4t)t^2cdot t^2 =-4t^2t^4 =-4t^2

Passo 4

Agora integramos:
I1=integral -4t,dt = -4ln t, I2=integral -4t^2,dt =-4integral t^-2dt =-4l(-1tr) =4t
Logo
yp(t) = -t,(I1) + t^2,(I2) = -t,(-4ln t) + t^2,4t =4tln t +4t =4tl(ln t +1r)

Passo 5

Concluímos que
yp(t)=4t(ln t+1)
é uma solução particular da equação
t^2y''+p(t)y'+q(t)y=-4t
Portanto y(t)=-2t^3 não é uma solução particular genérica (para p,q arbitrárias).

Resposta

A solução particular é
boxedyp(t)=4tl(ln t+1r)

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