Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas, sendo t in[0,2 pi].
alpha(t)=(4(t-sin t), 4(1-cos t)).

Passo 1

O enunciado pede reparametrizar por comprimento de arco a curva
alpha(t) = l(4,(t - sin t),;4,(1 - cos t)r), tin[0,2pi]
Para isso precisamos de:
  1. calcular alpha'(t),
  2. obter a velocidade |alpha'(t)|,
  3. integrar para achar s(t)=integral0^t|alpha'(u)|,du,
  4. inverter s(t) para t(s),
  5. definir beta(s)=alphal(t(s)r).

Passo 2

Calculamos a derivada:
alpha'(t) = l(4,(1-cos t),;4,sin tr)

Passo 3

A velocidade é
|alpha'(t)| = raizl[4(1-cos t)r]^2 + l[4sin tr]^2 =4raiz(1-cos t)^2+sin^2 t =4raiz2-2cos t =8sinl(tfrac t2r),
pois em 0<= t<=2pi temos sin(t/2)>=0.

Passo 4

O comprimento de arco desde 0 até t é
s(t) =integral0^t8sinl(tfrac u2r),du
Fazendo x=tfrac u2, du=2,dx, os limites vão de 0 a tfrac t2, obtemos
s(t) =16integral0^t/2sin x,dx =16l[-cos xr]0^t/2 =16l(1-costfrac t2r)

Passo 5

Invertendo s(t)=16(1-costfrac t2):
cosl(tfrac t2r)=1-s16 Longrightarrow tfrac t2=arccos!l(1-tfracs16r) Longrightarrow t(s)=2,arccos!l(1-tfracs16r),
com sin[0,32], pois s(2pi)=16(1-cospi)=32.

Passo 6

A reparametrização por comprimento de arco é
beta(s) =alphal(t(s)r) =l(4l(t(s)-sin t(s)r),;4l(1-cos t(s)r)r) com t(s)=2arccos!l(1-tfracs16r)

Resposta

boxed beta(s) =l( 4l(2arccos!l(1-tfracs16r) -sinl(2arccos!(1-tfracs16)r)r), ;4l(1-cosl(2arccos!(1-tfracs16)r)r) r), ;sin[0,32]

Exercícios relacionados