Quando possível, encontre uma interpretação que torne falsa cada uma das fórmulas abaixo. Quando não for possível, justifique.
(P Q) ((Q R) (P R))

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma interpretação que torne falsa a fórmula ou justificar que isso não é possível. A fórmula é do conteúdo de lógica proposicional, mais especificamente sobre implicação e sua validade em cadeia. Para resolver, vamos usar a definição semântica de implicação e ver se existe atribuição de valores que torne a fórmula falsa.

Passo 2

Lembrando que uma implicação A B é falsa somente quando A é verdadeira e B é falsa. Portanto, uma fórmula (P Q) ((Q R) (P R)) será falsa exatamente se o antecedente P Q for verdadeiro e o consequente (Q R) (P R) for falso.

Passo 3

Para que (Q R) (P R)) seja falso, precisamos de Q R verdadeiro e P R falso. Assim temos: 1) P Q verdadeiro; 2) Q R verdadeiro; 3) P R falso. Do item 3 conclui-se P verdadeiro e R falso. Com R falso, para Q R ser verdadeiro, Q precisa ser falso. Mas então P verdadeiro e Q falso tornam P Q falso, o que contradiz 1). Logo não há atribuição que satisfaça todas as condições simultaneamente.

Passo 4

Como não existe interpretação que torne a fórmula falsa, concluímos que ela é verdadeira em todas as atribuições de verdade, ou seja, é uma tautologia.

Resposta

A fórmula é uma tautologia, portanto não existe interpretação que a torne falsa.

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