2. Se possível, encontre a inversa da seguinte matriz:

[llll 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da matriz
M = 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 2
O conteúdo envolvido é o de matriz inversa. Vamos usar o método de resolver o sistema linear
Mx = y
e expressar x em função de y; os coeficientes dessa relação formam M^-1.

Passo 2

Escrevendo y = (y1,y2,y3,y4)^T e x=(x1,x2,x3,x4)^T, temos as equações
y1 = x1 + 2x4, y2 = x2, y3 = x3, y4 = 2x1 + 2x4

Passo 3

Das duas últimas equações isolamos x2 e x3 imediatamente:
x2 = y2, x3 = y3
Das duas primeiras equações formamos o sistema em x1,x4:
y1 = x1 + 2x4, y4 = 2x1 + 2x4
Subtraindo o dobro da primeira da segunda:
y4 - 2y1 = (2x1+2x4) - 2(x1+2x4) = -2x4 ;Longrightarrow; x4 = 2y1 - y42 = y1 - y42
Em seguida,
x1 = y1 - 2x4 = y1 - 2l(y1 - tfracy42r) = y4 - y1

Passo 4

Reunindo tudo,
x1 = -,y1 + 0cdot y2 + 0cdot y3 + 1cdot y4, x2 = 0cdot y1 + 1cdot y2 + 0cdot y3 + 0cdot y4, x3 = 0cdot y1 + 0cdot y2 + 1cdot y3 + 0cdot y4, x4 = 1cdot y1 + 0cdot y2 + 0cdot y3 -tfrac12,y4
Isso mostra que
M^-1 = -1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & -tfrac12

Resposta

M^-1 = -1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & -tfrac12

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