Se possível, encontre a matriz inversa e a matriz adjunta das seguintes matrizes. Calcule o determinante das matrizes dadas bem como das inversas e das adjuntas.
[lll1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede, para a matriz
A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 ,
que calculemos a inversa A^-1, a adjunta adj(A), bem como os determinantes de A, de A^-1 e de adj(A). Para isso vamos usar expansão de determinante, definição de cofator e as fórmulas
adj(A)=C^ T, A^-1=1det(A),adj(A),
além das propriedades det(A^-1)=1/det(A) e det(adj(A))=det(A)^n-1 para matriz ntimes n.

Passo 2

Calcular det(A) por regra de Sarrus:
det(A) =1cdot1cdot2 + 2cdot2cdot0 + 3cdot1cdot1 -3cdot1cdot0 - 1cdot2cdot1 - 2cdot1cdot2 =2 + 0 + 3 - 0 - 2 - 4 =-1

Passo 3

Construir a matriz de cofatores C=(Cij), onde
Cij=(-1)^i+jdet(Mij),
obtendo
C = 0 & -2 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & -1
A adjunta é a transposta de C:
adj(A)=C^ T = 0 & -1 & 1 -2 & 2 & 1 1 & -1 & -1

Passo 4

Aplicar
A^-1=1det(A),adj(A) =l(-1r),adj(A),
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A^-1 = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1

Passo 5

Usar det(A^-1)=1/det(A):
det(A^-1) = 1-1 = -1

Passo 6

Para 3times3, det(adj(A))=det(A)^3-1=det(A)^2:
det(adj(A)) = (-1)^2 = 1

Resposta

det(A)=-1
adj(A)=0 & -1 & 1-2 & 2 & 11 & -1 & -1
A^-1=0 & 1 & -12 & -2 & -1-1 & 1 & 1
det(A^-1)=-1
det(adj(A))=1

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