Se possível, encontre a matriz inversa e a matriz adjunta das seguintes matrizes. Calcule o determinante das matrizes dadas bem como das inversas e das adjuntas.
[cccc0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 0 & 3]

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem 4 e pede (i) o determinante de A, (ii) a inversa A^-1, (iii) a adjunta (ou adjugata) adj(A) e (iv) os determinantes de A^-1 e de adj(A).
Conteúdo: determinante de matrizes, eliminação de Gauss–Jordan para achar inversa, definição de adjunta adj(A)=det(A),A^-1 e propriedades det(A^-1)=1/det(A), det(adj(A))=det(A)^n-1.

Passo 2

Calculemos det(A) por expansão na primeira linha. Seja
A= 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 0 & 3
Expansão em torno dos elementos da primeira linha dá
det(A) =1cdot(-1)^1+3det1&0&11&1&-10&2&3 ;+;1cdot(-1)^1+4det1&0&01&1&10&2&0
Calculando cada menor:
det1&0&11&1&-10&2&3 =5+2=7, det1&0&01&1&10&2&0 =-2
Logo
det(A)=1cdot7 ;-;1cdot(-2)=9

Passo 3

Para achar A^-1 aplicamos eliminação de Gauss–Jordan à matriz aumentada l[Amid I4r]. Após pivoteamentos e reduções obtemos na forma l[I4mid Xr] a matriz
X = -tfrac29&tfrac79&tfrac29&-tfrac19 -tfrac13&-tfrac13&tfrac13&tfrac13 tfrac79&-tfrac29&tfrac29&-tfrac19 tfrac29&tfrac29&-tfrac29&tfrac19
Portanto,
A^-1 = -tfrac29&tfrac79&tfrac29&-tfrac19 -tfrac13&-tfrac13&tfrac13&tfrac13 tfrac79&-tfrac29&tfrac29&-tfrac19 tfrac29&tfrac29&-tfrac29&tfrac19

Passo 4

A adjunta é definida por adj(A)=det(A),A^-1. Como det(A)=9, temos
adj(A) =9,A^-1 = -2 & 7 & 2 & -1 -3 & -3 & 3 & 3 7 & -2 & 2 & -1 2 & 2 & -2 & 1

Passo 5

Usando as propriedades de determinante:
det(A^-1)=1det(A)=19, det(adj(A))=det(A)^,4-1=9^3=729

Resposta

det(A)=9
A^-1 = -tfrac29&tfrac79&tfrac29&-tfrac19 -tfrac13&-tfrac13&tfrac13&tfrac13 tfrac79&-tfrac29&tfrac29&-tfrac19 tfrac29&tfrac29&-tfrac29&tfrac19 adj(A) = -2 & 7 & 2 & -1 -3 & -3 & 3 & 3 7 & -2 & 2 & -1 2 & 2 & -2 & 1
det(A^-1)=tfrac19, det(adj(A))=729.

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