Se possível, encontre a matriz inversa e a matriz adjunta das seguintes matrizes. Calcule o determinante das matrizes dadas bem como das inversas e das adjuntas.
[lll1 & 2 & 2 1 & 3 & 1 1 & 3 & 2]

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa A^-1, a matriz adjunta adj(A) e os determinantes de A, de A^-1 e de adj(A). Aqui o conteúdo é álgebra linear de matrizes quadradas: cálculo de determinante, cofatores, adjunta e fórmula
A^-1 = 1det(A),adj(A), det(adj(A)) = det(A)^n-1

Passo 2

Calcular det(A) para
A = 1 & 2 & 2 1 & 3 & 1 1 & 3 & 2
Fazendo R2 R2-R1 e R3 R3-R1 obtemos
det(A) =det 1 & 2 & 2 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0 =1cdotl(1cdot0-(-1)cdot1r)=1

Passo 3

Construir a matriz de cofatores C=(Cij). Primeiro os menores orientados Mij:
M11=3, M12=1, M13=0, M21=-2, M22=0, M23=1, M31=-4, M32=-1, M33=1
Aplicando o sinal (-1)^i+j obtemos
C= C11&C12&C13 C21&C22&C23 C31&C32&C33 = 3 & -1 & 0 2 & 0 & -1 -4 & 1 & 1

Passo 4

A matriz adjunta é a transposta de C:
adj(A)=C^T = 3 & 2 & -4 -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1

Passo 5

Como det(A)=1, a inversa é simplesmente
A^-1=1det(A),adj(A) =adj(A) = 3 & 2 & -4 -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1
Além disso,
det(A^-1)=1det(A)=1, detl(adj(A)r)=det(A)^3-1=1^2=1

Resposta

det(A)=1
A^-1= 3 & 2 & -4 -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 e adj(A)= 3 & 2 & -4 -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1
det(A^-1)=1, det(adj(A))=1.

Exercícios relacionados