Se possível, encontre a matriz inversa e a matriz adjunta das seguintes matrizes. Calcule o determinante das matrizes dadas bem como das inversas e das adjuntas.
[lll1 & 2 & 3 0 & 2 & 3 1 & 2 & 4]

Passo 1

O enunciado pede a inversa A^-1, a adjunta adj(A) e os determinantes de
A = 1 & 2 & 3 0 & 2 & 3 1 & 2 & 4
O conteúdo utilizado será cálculo de determinante por expansão de Laplace, definição de cofatores, relação
A^-1 = 1det(A),adj(A)
e as propriedades det(A^-1)=(det A)^-1 e det(adj(A))=(det A)^n-1 para matrizes ntimes n.

Passo 2

Calculamos det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A) = 1cdotdet2&32&4 -2cdotdet0&31&4 +3cdotdet0&21&2
Cada subdeterminante vale
det2&32&4=8-6=2, det0&31&4=0-3=-3, det0&21&2=0-2=-2
Logo
det(A)=1cdot2-2cdot(-3)+3cdot(-2)=2+6-6=2

Passo 3

Formamos a matriz de cofatores Cij=(-1)^i+jMij, onde Mij elimina linha i e coluna j. Calculando todos os Mij e aplicando o sinal, obtemos
Cof(A) = 2 & 3 & -2 -2 & 1 & 0 0 & -3 & 2

Passo 4

A adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
adj(A) =l(Cof(A)r)^T = 2 & -2 & 0 3 & 1 & -3 -2 & 0 & 2

Passo 5

Usando A^-1=tfrac1det(A),adj(A) com det(A)=2, temos
A^-1 =12 2 & -2 & 0 3 & 1 & -3 -2 & 0 & 2 = 1 & -1 & 0 32 & 12 & -32 -1 & 0 & 1

Passo 6

Pelas propriedades dos determinantes
det(A^-1)=(det A)^-1=tfrac12,
e para n=3
detl(adj(A)r)=(det A)^n-1=2^2=4

Resposta

det(A)=2
adj(A) = 2 & -2 & 0 3 & 1 & -3 -2 & 0 & 2
A^-1 = 1 & -1 & 0 32 & 12 & -32 -1 & 0 & 1
det(A^-1)=tfrac12
det(adj(A))=4

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