Se possível, encontre a matriz inversa e a matriz adjunta das seguintes matrizes. Calcule o determinante das matrizes dadas bem como das inversas e das adjuntas.
[lll1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1
que é de dimensão 3times3, e requeros cálculos de:
  1. det(A)
  2. A^-1, se existir
  3. adj(A) (matriz adjunta ou adjugada)
  4. os determinantes de A^-1 e de adj(A).
Conteúdo usado: definição de determinante, menores e cofatores, relação adj(A)=C^T e fórmula A^-1=1det(A),adj(A).

Passo 2

Vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha.
det(A) =1cdotdet!1&21&1 -2cdotdet!1&20&1 +3cdotdet!1&10&1
Agora cada menor:
det!1&21&1=1cdot1-2cdot1=-1, det!1&20&1=1cdot1-2cdot0=1, det!1&10&1=1cdot1-1cdot0=1
Substituindo:
det(A)=1cdot(-1)-2cdot1+3cdot1=-1-2+3=0

Passo 3

Como det(A)=0, a matriz A é singular e não possui inversa. Logo A^-1 não existe.

Passo 4

Mesmo sendo singular, podemos formar a matriz de cofatores C=(Cij) onde
Cij=(-1)^i+jdet(Mij),
sendo Mij o menor de A obtido ao eliminar linha i e coluna j. Calculando todos os Cij obtemos
C = -1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 1 & 1 & -1

Passo 5

A matriz adjunta (ou adjugada) é a transposta da matriz de cofatores:
adj(A)=C^T = -1 & 1 & 1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & -1

Passo 6

Como det(A)=0 e adj(A) é 3times3, vale a propriedade
detl(adj(A)r)=l(det(A)r)^3-1=0^2=0
E não faz sentido falar em det(A^-1) pois A^-1 não existe.

Resposta

det(A)=0 (logo A^-1 não existe),
adj(A)= -1 & 1 & 1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 ,
detl(adj(A)r)=0.

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