Prove que
é divisível por 133 qualquer que seja o número natural
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente provar que, para todo número natural
,
é divisível por
.
Conteúdo: aritmética modular (restos) e fatoração de .
O que vamos precisar:
Conteúdo: aritmética modular (restos) e fatoração de
O que vamos precisar:
- Saber reduzir bases e potências em um módulo (por exemplo, em módulo 7 e em módulo 19).
- Usar que, se algo é múltiplo de 7 e de 19 ao mesmo tempo, é múltiplo de
.
Passo 2
Mostrar que
é múltiplo de 7.
- Trabalhando em módulo 7, primeiro reduzo as bases:
- Escrevo
- Reparo que
Então
- Somando as duas
Logo é múltiplo de 7.
Passo 3
Mostrar que
é múltiplo de 19.
- Em módulo 19, reduzo as bases:
- Calculo quadrados:
- Então
- Somando
Logo é múltiplo de 19.
Passo 4
Se um número é múltiplo de 7 e de 19 ao mesmo tempo, então é múltiplo do produto
.
Resposta
Portanto, para todo
,
é divisível por
.