Prove que 11^n+2+12^2 n+1 é divisível por 133 qualquer que seja o número natural n.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente provar que, para todo número natural n,
11^n+2 ;+; 12^2n+1
é divisível por 133.
Conteúdo: aritmética modular (restos) e fatoração de 133 = 7 times 19.
O que vamos precisar:
  • Saber reduzir bases e potências em um módulo (por exemplo, em módulo 7 e em módulo 19).
  • Usar que, se algo é múltiplo de 7 e de 19 ao mesmo tempo, é múltiplo de 7cdot19=133.

Passo 2

Mostrar que 11^n+2+12^2n+1 é múltiplo de 7.
  1. Trabalhando em módulo 7, primeiro reduzo as bases:
11 equiv 4 pmod7, 12 equiv 5 pmod7
  1. Escrevo
11^n+2 equiv 4^,n+2, 12^2n+1 equiv 5^,2n+1 (bmod;7)
  1. Reparo que
4^2 = 16 equiv 2 pmod7, 5^2 = 25 equiv 4 pmod7
Então
4^,n+2 = 4^2cdot4^n equiv 2cdot4^n, 5^,2n+1 = 5cdot(5^2)^n equiv 5cdot4^n pmod7
  1. Somando as duas
11^n+2+12^2n+1 ;equiv; 2cdot4^n ;+; 5cdot4^n = 7cdot4^n equiv 0 pmod7
Logo é múltiplo de 7.

Passo 3

Mostrar que 11^n+2+12^2n+1 é múltiplo de 19.
  1. Em módulo 19, reduzo as bases:
11equiv 11, 12equiv 12 pmod19
  1. Calculo quadrados:
11^2 = 121 equiv 7 pmod19, 12^2 = 144 equiv 11 pmod19
  1. Então
11^n+2 = 11^2cdot11^n equiv 7cdot11^n, 12^2n+1 = 12cdot(12^2)^n equiv 12cdot11^n pmod19
  1. Somando
11^n+2+12^2n+1 ;equiv; 7cdot11^n ;+;12cdot11^n = 19cdot11^n equiv 0 pmod19
Logo é múltiplo de 19.

Passo 4

Se um número é múltiplo de 7 e de 19 ao mesmo tempo, então é múltiplo do produto 7times19=133.

Resposta

Portanto, para todo ninN,
11^n+2 + 12^2n+1
é divisível por 133.

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