É possível que um espaço vetorial que não possui um único elemento, admitir um número finito de elementos? Justifique.
(6) Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
(6) Seja
Passo 1
O enunciado pergunta se um espaço vetorial que não seja apenas o zero (isto é, que tenha pelo menos um vetor não-nulo) pode ter um número finito de elementos. Para responder, vamos usar o fato de que a cardinalidade de um espaço vetorial
sobre um corpo
satisfaz
Precisaremos distinguir se o corpo
é finito ou infinito.
Passo 2
Suponha primeiro que o corpo
seja infinito (por exemplo,
). Se existe
com
, então o conjunto
é infinito, pois
é injetora. Logo
. Concluímos que sobre um corpo infinito todo espaço vetorial não trivial é infinito.
Passo 3
Agora suponha que o corpo
seja finito, digamos
, e que
. Se
é uma base, cada vetor de
corresponde a um
-tuplo em
. Portanto
que é finito sempre que
.
Conclusão: um espaço vetorial não-trivial tem número finito de elementos se, e somente se, o corpo for finito e a dimensão for finita. Em particular, sobre
(corpo infinito) não existe espaço vetorial não-trivial finito.
Passo 4
Para o item (6), falta no enunciado a descrição dos subconjuntos
que devemos testar. Sem saber quais são esses
, não há como decidir se cada um é subespaço de
.
Resposta
– É possível que um espaço vetorial não-trivial tenha finitamente muitos elementos somente se o corpo for finito e a dimensão finita (por exemplo
, com
elementos). Sobre
, qualquer espaço vetorial diferente de
é infinito.
– Não é possível resolver o item (6) porque os subconjuntos não foram fornecidos.
– Não é possível resolver o item (6) porque os subconjuntos