É possível que um espaço vetorial que não possui um único elemento, admitir um número finito de elementos? Justifique.
(6) Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado pergunta se um espaço vetorial que não seja apenas o zero (isto é, que tenha pelo menos um vetor não-nulo) pode ter um número finito de elementos. Para responder, vamos usar o fato de que a cardinalidade de um espaço vetorial V sobre um corpo K satisfaz
lvert Vrvert = lvert Krvert^dim V
Precisaremos distinguir se o corpo K é finito ou infinito.

Passo 2

Suponha primeiro que o corpo K seja infinito (por exemplo, K= R). Se existe vin V com vneq 0, então o conjunto
alpha v mid alphain K
é infinito, pois alphamapsto alpha v é injetora. Logo lvert Vrvert>= lvert Krvert=infty. Concluímos que sobre um corpo infinito todo espaço vetorial não trivial é infinito.

Passo 3

Agora suponha que o corpo K seja finito, digamos lvert Krvert=q<infty, e que dim V=n<infty. Se e1,dots,en é uma base, cada vetor de V corresponde a um n-tuplo em K^n. Portanto
lvert Vrvert = q^n,
que é finito sempre que n>0.
Conclusão: um espaço vetorial não-trivial tem número finito de elementos se, e somente se, o corpo for finito e a dimensão for finita. Em particular, sobre R (corpo infinito) não existe espaço vetorial não-trivial finito.

Passo 4

Para o item (6), falta no enunciado a descrição dos subconjuntos Wsubset V que devemos testar. Sem saber quais são esses W, não há como decidir se cada um é subespaço de V.

Resposta

– É possível que um espaço vetorial não-trivial tenha finitamente muitos elementos somente se o corpo for finito e a dimensão finita (por exemplo Fp^n, com p^n elementos). Sobre R, qualquer espaço vetorial diferente de 0 é infinito.
– Não é possível resolver o item (6) porque os subconjuntos W não foram fornecidos.

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