Se possível, dê exemplo:
de um polinômio de grau n com coeficientes em um domínio A com mais de n raízes.

Passo 1

O enunciado pede um polinômio de grau n com coeficientes num “domínio” A que tenha mais de n raízes em A. Isso envolve a questão de quando um anel tem zero divisores e como isso permite quebrar a regra “no máximo n raízes”.

Passo 2

Em um domínio de integridade (anel sem zero divisores) um polinômio não nulo de grau n só pode ter no máximo n raízes. Mas se o anel A tiver zero divisores, essa restrição deixa de valer.

Passo 3

Para construir um exemplo concreto, vamos escolher A=Z/6Z, que não é domínio de integridade pois 2cdot3=0 em Z/6Z. Definimos o polinômio de grau 2
f(x)=x(x-1)=x^2 - x

Passo 4

Agora verificamos as raízes em Z/6Z. Calculamos f(a) para a=0,1,2,3,4,5:
f(0)=0(0-1)=0,
f(1)=1\cdot0=0,
f(2)=2\cdot1=2\not=0,
f(3)=3\cdot2=6\equiv0,
f(4)=4\cdot3=12\equiv0,
f(5)=5\cdot4=20\equiv2\not=0.

Passo 5

Concluímos que f(x)=x^2-x em Z/6Z tem exatamente quatro raízes: 0,1,3,4, e 4>2=n.

Resposta

Um exemplo é em A=Z/6Z o polinômio f(x)=x^2-x, que tem grau 2 mas quatro raízes ( 0,1,3,4) em Z/6Z.

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