Se possível, dê exemplo:
de um polinômio de grau
com coeficientes em um domínio
com mais de
raízes.
de um polinômio de grau
Passo 1
O enunciado pede um polinômio de grau
com coeficientes num “domínio”
que tenha mais de
raízes em
. Isso envolve a questão de quando um anel tem zero divisores e como isso permite quebrar a regra “no máximo
raízes”.
Passo 2
Em um domínio de integridade (anel sem zero divisores) um polinômio não nulo de grau
só pode ter no máximo
raízes. Mas se o anel
tiver zero divisores, essa restrição deixa de valer.
Passo 3
Para construir um exemplo concreto, vamos escolher
, que não é domínio de integridade pois
em
. Definimos o polinômio de grau
Passo 4
Agora verificamos as raízes em
. Calculamos
para
:
f(0)=0(0-1)=0,
f(1)=1\cdot0=0,
f(2)=2\cdot1=2\not=0,
f(3)=3\cdot2=6\equiv0,
f(4)=4\cdot3=12\equiv0,
f(5)=5\cdot4=20\equiv2\not=0.
f(0)=0(0-1)=0,
f(1)=1\cdot0=0,
f(2)=2\cdot1=2\not=0,
f(3)=3\cdot2=6\equiv0,
f(4)=4\cdot3=12\equiv0,
f(5)=5\cdot4=20\equiv2\not=0.
Passo 5
Concluímos que
em
tem exatamente quatro raízes:
, e
.
Resposta
Um exemplo é em
o polinômio
, que tem grau
mas quatro raízes (
) em
.