Se possível, dê exemplo:
de um polinômio irredutível em
que não é irredutível em
.
de um polinômio irredutível em
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de um polinômio que seja irreduzível em
mas que se torne redutível em
. O conteúdo envolve definição de irreducibilidade em anéis de polinômios e o Lema de Gauss.
Passo 2
Em
, um polinômio
é irreduzível se não existe fatoração
com
não constantes e nenhum deles unidade (unidades em
são apenas
). Analogamente definimos irreduzibilidade em
.
Passo 3
O Lema de Gauss diz que todo polinômio primitivo (coeficientes com máximo divisor comum igual a 1) de
é irreduzível em
se, e somente se, for irreduzível em
.
Passo 4
Como qualquer polinômio irreduzível em
necessariamente é primitivo (caso contrário puxaríamos um fator inteiro fora e teríamos uma fatoração não trivial em
), o Lema de Gauss garante que ele também é irreduzível em
.
Passo 5
Portanto não existe exemplo de um polinômio que seja irreduzível em
e, ao mesmo tempo, redutível em
.
Resposta
Não existe tal polinômio, pois pelo Lema de Gauss toda irreducibilidade em
implica irreducibilidade em
.