Se possível, dê exemplo:
de um polinômio irredutível em Z[X] que não é irredutível em Q[X].

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de um polinômio que seja irreduzível em Z[X] mas que se torne redutível em Q[X]. O conteúdo envolve definição de irreducibilidade em anéis de polinômios e o Lema de Gauss.

Passo 2

Em Z[X], um polinômio f é irreduzível se não existe fatoração f=gh com g,hinZ[X] não constantes e nenhum deles unidade (unidades em Z[X] são apenas pm1). Analogamente definimos irreduzibilidade em Q[X].

Passo 3

O Lema de Gauss diz que todo polinômio primitivo (coeficientes com máximo divisor comum igual a 1) de Z[X] é irreduzível em Z[X] se, e somente se, for irreduzível em Q[X].

Passo 4

Como qualquer polinômio irreduzível em Z[X] necessariamente é primitivo (caso contrário puxaríamos um fator inteiro fora e teríamos uma fatoração não trivial em Z[X]), o Lema de Gauss garante que ele também é irreduzível em Q[X].

Passo 5

Portanto não existe exemplo de um polinômio que seja irreduzível em Z[X] e, ao mesmo tempo, redutível em Q[X].

Resposta

Não existe tal polinômio, pois pelo Lema de Gauss toda irreducibilidade em Z[X] implica irreducibilidade em Q[X].

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