Seja
a projeção ortogonal de um ponto
sobre um plano
. Considere uma circunferência de centro
contida em
. Mostre que todas as retas tangentes a esta circunferência estão a uma mesma distância de
.
Passo 1
Resumo do enunciado e do que vamos usar: Temos um ponto P fora (ou sobre) o plano π e O é a projeção ortogonal de P em π, ou seja, O é o pé da perpendicular de P em π. Em π há uma circunferência de centro O e raio r. Queremos mostrar que qualquer reta L tangente a essa circunferência (isto é, tocando-a num único ponto) está à mesma distância de P. Vamos usar conceitos de projeção ortogonal, distância de ponto a reta em espaço e uma aplicação do Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Distância de P ao plano e pé da perpendicular: Por definição de projeção ortogonal, a distância de P ao plano π é a medida do segmento PO, e O é justamente o pé da perpendicular de P em π. Em outras palavras, toda reta em π (incluindo tangentes) está perpendicular a PO ou forma um ângulo reto com PO.
Passo 3
Distância de um ponto a uma reta num espaço: Seja L qualquer reta em π. Se H é o pé da perpendicular de P em L, então PH é a distância de P a L. Note que o triângulo POH é retângulo em O, pois PO ⟂ π e, em particular, PO ⟂ L. Além disso, OH é a distância de O a L (que é medida no próprio plano π). Pelo Teorema de Pitágoras,
Passo 4
Agora especializando para tangentes: Se L é tangente à circunferência de centro O e raio r, então a distância de O a L é r. Substituindo na relação do passo anterior, a distância de P a qualquer reta L tangente vale
Observamos que o resultado é independente da reta tangente escolhida. Logo, todas as retas tangentes à circunferência estão à mesma distância de P.