Se possível, dê exemplo:
de um polinômio irredutível em
que não é irredutível em
.
de um polinômio irredutível em
Passo 1
O exercício pede um polinômio que não se fatora em
mas que se fatora em
. Esse conteúdo envolve noções de irreducibilidade em domínios de coeficientes diferentes e uso do Teste da Raiz Racional.
Passo 2
Vamos usar o polinômio
. Primeiro, mostramos que
é irreduzível em
. Pelo Teste da Raiz Racional, qualquer raiz racional
(em forma irredutível) de
deve satisfazer que
divide o termo constant e
divide o coeficiente líder. Aqui o termo constante é
e o coeficiente líder é 1. Logo e
, mas nenhuma delas anula
. Portanto não há raiz racional, e como o grau é 2, não existe fatoração não trivial em
.
Passo 3
Agora, em
podemos fatorar
encontrando suas raízes reais. Resolvendo
dá
. Assim temos a fatoração
Passo 4
Passo 5
Com isso mostramos que
é irreduzível em
mas se fatora em
Resposta
Um exemplo é o polinômio
irredutível em
mas redutível em