Se possível, dê exemplo:
de um polinômio irredutível em Q[X] que não é irredutível em R[X].

Passo 1

O exercício pede um polinômio que não se fatora em mas que se fatora em . Esse conteúdo envolve noções de irreducibilidade em domínios de coeficientes diferentes e uso do Teste da Raiz Racional.

Passo 2

Vamos usar o polinômio . Primeiro, mostramos que é irreduzível em . Pelo Teste da Raiz Racional, qualquer raiz racional (em forma irredutível) de deve satisfazer que divide o termo constant e divide o coeficiente líder. Aqui o termo constante é e o coeficiente líder é 1. Logo e , mas nenhuma delas anula . Portanto não há raiz racional, e como o grau é 2, não existe fatoração não trivial em .

Passo 3

Agora, em podemos fatorar encontrando suas raízes reais. Resolvendo . Assim temos a fatoração

Passo 4

X^2-2=(X-raiz2)(X+raiz2)

Passo 5

Com isso mostramos que é irreduzível em mas se fatora em

Resposta

Um exemplo é o polinômio
X^2-2,
irredutível em
Q[X]
mas redutível em
R[X].

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