Se possível, dê exemplo:
de um polinômio irredutível em
que não gera um ideal maximal.
de um polinômio irredutível em
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de polinômio em
que seja irreduzível mas cujo ideal principal não seja maximal. Vamos usar conceitos de irreducibilidade em
e de ideal maximal (ou seja, um ideal cuja quotiente é um corpo).
Passo 2
Em
, qualquer polinômio de grau 1 cujo coeficiente líder seja ±1 ou um inteiro qualquer é irreduzível, pois não pode ser escrito como produto de dois polinômios de grau menor não constantes. Por exemplo, considere
. Aqui o grau de
é 1, logo não há fatoração não trivial em
.
Passo 3
Para ver que o ideal
não é maximal, analisamos o quociente
Esse isomorfismo ocorre porque, em
, identificamos
e sobra apenas o anel dos coeficientes. Como
não é um corpo, o ideal
não é maximal em
.
Resposta
Um exemplo é
, que é irreduzível em
mas gera o ideal
não maximal.