Se possível, dê exemplo:
de um polinômio irredutível em Z[X] que não gera um ideal maximal.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de polinômio em Z[X] que seja irreduzível mas cujo ideal principal não seja maximal. Vamos usar conceitos de irreducibilidade em Z[X] e de ideal maximal (ou seja, um ideal cuja quotiente é um corpo).

Passo 2

Em Z[X], qualquer polinômio de grau 1 cujo coeficiente líder seja ±1 ou um inteiro qualquer é irreduzível, pois não pode ser escrito como produto de dois polinômios de grau menor não constantes. Por exemplo, considere f(X)=X. Aqui o grau de f é 1, logo não há fatoração não trivial em Z[X].

Passo 3

Para ver que o ideal (X) não é maximal, analisamos o quociente
Z[X]/(X) cong Z
Esse isomorfismo ocorre porque, em Z[X]/(X), identificamos X=0 e sobra apenas o anel dos coeficientes. Como Z não é um corpo, o ideal (X) não é maximal em Z[X].

Resposta

Um exemplo é f(X)=X, que é irreduzível em Z[X] mas gera o ideal (X) não maximal.

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