Dê, se possível, exemplos de:
Um conjunto L.D. de cinco vetores de
que geram
.
Um conjunto L.D. de cinco vetores de
Passo 1
O enunciado pede um conjunto de cinco matrizes em
que seja gerador e ao mesmo tempo linearmente dependente. O conteúdo envolve espaço vetorial, dimensão, sistema gerador e dependência linear.
Passo 2
Em geral, para gerar
precisamos de pelo menos quatro matrizes (pois
). Se escolhermos exatamente quatro matrizes independentes teremos uma base. Se adicionarmos uma quinta matriz, o conjunto permanece gerador mas torna-se automaticamente linearmente dependente.
Vamos escolher como “base canônica” quatro matrizes espalhadas e acrescentar uma quinta. Definimos
Vamos escolher como “base canônica” quatro matrizes espalhadas e acrescentar uma quinta. Definimos
Passo 3
Para ver que
gera todo
, tome uma matriz arbitrária
Basta escrever
que é combinação linear de
(e não usa
). Logo todo elemento de
está no span do conjunto.
Passo 4
Para mostrar dependência linear, basta notar a relação
Isso prova que existe combinação não trivial que zera, portanto o conjunto com cinco matrizes é linearmente dependente.
Resposta
Um exemplo é