Dê, se possível, exemplos de:
Um conjunto L.D. de cinco vetores de M2(R) que geram M2(R).

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de cinco matrizes em M2(R) que seja gerador e ao mesmo tempo linearmente dependente. O conteúdo envolve espaço vetorial, dimensão, sistema gerador e dependência linear.

Passo 2

Em geral, para gerar M2(R) precisamos de pelo menos quatro matrizes (pois diml(M2(R)r)=4). Se escolhermos exatamente quatro matrizes independentes teremos uma base. Se adicionarmos uma quinta matriz, o conjunto permanece gerador mas torna-se automaticamente linearmente dependente.
Vamos escolher como “base canônica” quatro matrizes espalhadas e acrescentar uma quinta. Definimos
A1=1&00&0, A2=0&10&0, A3=0&01&0, A4=0&00&1, A5=1&11&1

Passo 3

Para ver que gera todo , tome uma matriz arbitrária
Basta escrever
que é combinação linear de (e não usa ). Logo todo elemento de está no span do conjunto.

Passo 4

Para mostrar dependência linear, basta notar a relação
A5 ;=; A1 + A2 + A3 + A4
Isso prova que existe combinação não trivial que zera, portanto o conjunto com cinco matrizes é linearmente dependente.

Resposta

Um exemplo é
l,A1,A2,A3,A4,A5r com A1=1&00&0,; A2=0&10&0,; A3=0&01&0,; A4=0&00&1,; A5=1&11&1

Exercícios relacionados