Se possível obtenha a decomposição de Espectral das matrizes abaixo:
A=[rrr1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a decomposição espectral de
A = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1
Como A é simétrica, sabemos pelo Teorema Espectral que existe uma base ortonormal de autovetores e que
A = Q,Lambda,Q^T = sumilambdai,ui,ui^T,
onde lambdai são os autovalores e ui os autovetores normalizados. Vamos então (i) achar o polinômio característico para obter os autovalores, (ii) encontrar os autovetores correspondentes, (iii) normalizá-los e (iv) montar a soma espectral.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0.
detl(A-lambda Ir) = 1-lambda & 0 & -1 0 & 1-lambda & 0 -1&0&1-lambda =(1-lambda)l[(1-lambda)^2r]-( -1)l[(1-lambda)r] =(1-lambda)^3-(1-lambda)
Fatorando,
(1-lambda)^3-(1-lambda)=(1-lambda)l[(1-lambda)^2-1r] =(1-lambda)(-lambda)(2-lambda) =-lambda(1-lambda)(2-lambda)
Logo os autovalores são
lambda=0, lambda=1, lambda=2

Passo 3

Para cada lambda resolvemos (A-lambda I)v=0:
  1. lambda=1:
    ,A-I=0&0&-10&0&0-1&0&0
    impõe -z=0 e -x=0, ou seja x=0, z=0, y livre.
    Um autovetor é
v1 = 010
  1. lambda=2:
    ,A-2I=-1&0&-10&-1&0-1&0&-1
    impõe -x-z=0 e -y=0, ou seja y=0 e x=-z.
    Um autovetor é
v2 = 10-1
  1. lambda=0:
    ,A-0I=A impõe x-z=0 e y=0, ou seja x=z, y=0.
    Um autovetor é
v3 = 101

Passo 4

Normalizamos cada vi para obter uma base ortonormal u1,u2,u3:
u1 = v1 = 010, u2 = 1raiz210-1, u3 = 1raiz2101
Note que |v1|=1 e |v2|=|v3|=raiz2.

Passo 5

Pela fórmula da decomposição espectral,
A = sumi=1^3lambdai,ui,ui^T =0cdot u3u3^T + 1cdot u1u1^T + 2cdot u2u2^T

Resposta

A = u1u1^T + 2,u2u2^T = 010 0&1&0 +2;12 10-1 1&0&-1
Explicitamente,
A =0&0&00&1&00&0&0 +1&0&-10&0&0-1&0&1 =1&0&-10&1&0-1&0&1

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