Se possível obtenha a decomposição de Espectral das matrizes abaixo:
A=[llll1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a decomposição espectral (ou diagonalização ortogonal) da matriz simétrica
A = 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1
O conteúdo necessário é: autovalores e autovetores de matrizes simétricas e normalização para obter uma base ortonormal.

Passo 2

Repare que A é formada por dois blocos idênticos 2times2:
B = 1 & 11 & 1,
ou seja,
A = B & 00 & B

Passo 3

O polinômio característico de B é
det(B - lambda I) = det1-lambda & 11 & 1-lambda =(1-lambda)^2 -1 =lambda^2 -2lambda,
cuja solução é
lambda1 = 2, lambda2 = 0
Como há dois blocos iguais, os autovalores de A são
2,2,0,0

Passo 4

Para cada bloco, os autovetores não normalizados são:
- Para lambda=2, satisfazemos (B-2I)x=0, dando vetores proporcionais a
l(1,1r)^T.
- Para lambda=0, satisfazemos B x=0, dando vetores proporcionais a
l(1,-1r)^T.
Elevando ao espaço R^4, tomamos
v1 = 1100, v2 = 1-100, v3 = 0011, v4 = 001-1

Passo 5

Cada vi tem norma |vi|=raiz2. Logo os autovetores ortonormais são
ui = viraiz2, i=1,dots,4
Em particular,
u1 = 1raiz21100,; u2 = 1raiz21-100,; u3 = 1raiz20011,; u4 = 1raiz2001-1

Passo 6

Na base ortonormal u1,u2,u3,u4 vale
A = sumi=1^4lambdai,ui,ui^T,
onde lambda1=lambda3=2 e lambda2=lambda4=0. Como os termos com autovalor zero não contribuem, ficamos com
A = 2,u1u1^T ;+; 2,u3u3^T

Resposta

Definindo
a decomposição espectral é

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