Se possível obtenha a decomposição LU das matrizes abaixo:
[lll1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede a decomposição LU da matriz
A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2
O conteúdo envolvido é fatoração de uma matriz quadrada em A = LU sem pivoteamento, usando eliminação de Gauss. Para isso, precisamos garantir que nenhum pivô intermediário seja zero e, em seguida, registrar os multiplicadores usados.

Passo 2

Verificamos os menores principais de A:
detl([a11]r)=1neq0, det1&21&1=1cdot1-1cdot2=-1neq0
Como ambos são não nulos, podemos proceder sem troca de linhas.

Passo 3

Aplicamos a eliminação de Gauss e anotamos os multiplicadores:
  1. Eliminar a21:
    m21=dfraca21a11=dfrac11=1.
    Subtraímos m21 vezes a linha 1 da linha 2:
    linha2 linha2 - 1cdot linha1 ;Longrightarrow; (1,1,2)-(1,2,3)=(0,-1,-1)
  2. Eliminar a31:
    m31=dfraca31a11=dfrac01=0.
    A linha 3 não muda:
    (0,1,2).
Agora a matriz intermediária é
1 & 2 & 3 0 & -1 & -1 0 & 1 & 2
  1. Eliminar a32 (da nova linha 3):
    m32=dfrac1-1=-1.
    Subtraímos (-1) vezes a linha 2 da linha 3, ou seja, somamos a linha 2: (0,1,2) - (-1)cdot(0,-1,-1) = (0,1,2)+(0,-1,-1) = (0,0,1)
O resultado final da eliminação (a matriz U) é
U = 1 & 2 & 3 0 & -1 & -1 0 & 0 & 1

Passo 4

Agora montamos L inserindo os multiplicadores abaixo da diagonal principal e 1s na diagonal:
L = 1 & 0 & 0 m21 & 1 & 0 m31 & m32 & 1 = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Verifica-se que A = LU.

Resposta

L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 , U = 1 & 2 & 3 0 & -1 & -1 0 & 0 & 1

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