Uma possível parametrização para o segmento de reta com início no ponto A=(2,-3,1) e término no ponto B=(5,0,2) é
(A) \left\{\begin{array}{l}x=5-3 t \\\ y=-3 t \\\ z=2-t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(B) \left\{\begin{array}{l}x=2-3 t \\\ y=-3-3 t, 0 \leq t \leq 1 . \\\ z=1-t\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{l}x=2+5 t \\\ y=-3 \\\ z=1+2 t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(D) \left\{\begin{array}{l}x=3+2 t \\\ y=3-3 t \\\ z=1+t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(E) \left\{\begin{array}{l}x=2+3 t \\\ y=-3+3 t, 0 \leq t \leq 1 \\\ z=1+t\end{array}\right..
(F) nenhuma das anteriores.

Passo 1

O enunciado dá os pontos inicial e final do segmento de reta:
  • Ponto inicial A=(2,-3,1).
  • Ponto final B=(5,0,2).
A pergunta é: qual das parametrizações listadas descreve o segmento com início em A e término em B, no intervalo 0\le t\le1.

Passo 2

Método padrão (explicação didática): para parametrizar o segmento de reta que vai de um ponto A=(x_A,y_A,z_A) até um ponto B=(x_B,y_B,z_B) usa-se a fórmula
\mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t(\mathbf{B}-\mathbf{A}),\qquad 0\le t\le1.
Aqui \mathbf{A} é o vetor posição do ponto inicial e \mathbf{B}-\mathbf{A} é o vetor que aponta de A para B. A variável t varia de 0 a 1: em t=0 estamos em A e em t=1 chegamos em B. Isso é intuitivo: t faz uma “mistura” entre A (peso 1-t) e B (peso t).

Passo 3

Calcular o vetor direção \mathbf{B}-\mathbf{A}:
\mathbf{B}-\mathbf{A}=(5-2,\;0-(-3),\;2-1)=(3,\;3,\;1).

Passo 4

Montar a parametrização usando \mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t(\mathbf{B}-\mathbf{A}):
\mathbf{r}(t)=(2,-3,1)+t(3,3,1)=(2+3t,\;-3+3t,\;1+t),
com 0\le t\le1. Em forma de coordenadas isso dá
\begin{cases} x=2+3t,\\[4pt] y=-3+3t,\\[4pt] z=1+t, \end{cases}\qquad 0\le t\le1.]

Passo 5

Verificação dos extremos (essencial na prova): em t=0,
( x,y,z)=(2+3\cdot0,\;-3+3\cdot0,\;1+0)=(2,-3,1)=A.
Em t=1,
( x,y,z)=(2+3\cdot1,\;-3+3\cdot1,\;1+1)=(5,0,2)=B.
Portanto a parametrização está correta e com a orientação pedida (início em A, fim em B).

Passo 6

Comparação com as alternativas (checar rapidamente cada uma):
  • Alternativa (E) é exatamente
\begin{cases} x=2+3t,\\\ y=-3+3t,\\\ z=1+t, \end{cases}\quad 0\le t\le1,
que coincide com a parametrização correta que encontramos. Logo (E) é candidata correta.

Passo 7

Por que as outras estão incorretas (resumo curto para a prova):
  • (A): em t=0 (5,0,2)=B e em t=1 (2,-3,1)=A; descreve o mesmo segmento, mas na direção contrária (começa em B e termina em A), portanto não atende ao enunciado.
  • (B): em t=1 não dá B; deslocamento está errado.
  • (C): mantém y=-3 constante, mas y precisa variar de -3 até 0; está errada.
  • (D): em t=0 o ponto inicial não é A; está errada.
    Assim, apenas (E) tem início em A, fim em B e o vetor direção correto.

Passo 8

Recado rápido de colega: para a prova, memorize a ideia simples — vetor direção B-A e usar A+t(B-A) com t\in[0,1]. Isso resolve quase todo exercício de parametrização de segmento.

Resposta

(E)

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