Uma possível parametrização para o segmento de reta com início no ponto A=(2,-3,1) e término no ponto B=(5,0,2) é
(A) \left\{\begin{array}{l}x=5-3 t \\\ y=-3 t \\\ z=2-t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(B) \left\{\begin{array}{l}x=2-3 t \\\ y=-3-3 t, 0 \leq t \leq 1 . \\\ z=1-t\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{l}x=2+5 t \\\ y=-3 \\\ z=1+2 t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(D) \left\{\begin{array}{l}x=3+2 t \\\ y=3-3 t \\\ z=1+t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(E) \left\{\begin{array}{l}x=2+3 t \\\ y=-3+3 t, 0 \leq t \leq 1 \\\ z=1+t\end{array}\right..
(F) nenhuma das anteriores.
Passo 1
O enunciado dá os pontos inicial e final do segmento de reta:
Ponto inicial A=(2,-3,1).
Ponto final B=(5,0,2).
A pergunta é: qual das parametrizações listadas descreve o segmento com início em A e término em B, no intervalo 0\le t\le1.
Passo 2
Método padrão (explicação didática): para parametrizar o segmento de reta que vai de um ponto A=(x_A,y_A,z_A) até um ponto B=(x_B,y_B,z_B) usa-se a fórmula
Aqui \mathbf{A} é o vetor posição do ponto inicial e \mathbf{B}-\mathbf{A} é o vetor que aponta de A para B. A variável t varia de 0 a 1: em t=0 estamos em A e em t=1 chegamos em B. Isso é intuitivo: t faz uma “mistura” entre A (peso 1-t) e B (peso t).
que coincide com a parametrização correta que encontramos. Logo (E) é candidata correta.
Passo 7
Por que as outras estão incorretas (resumo curto para a prova):
(A): em t=0 dá (5,0,2)=B e em t=1 dá (2,-3,1)=A; descreve o mesmo segmento, mas na direção contrária (começa em B e termina em A), portanto não atende ao enunciado.
(B): em t=1 não dá B; deslocamento está errado.
(C): mantém y=-3 constante, mas y precisa variar de -3 até 0; está errada.
(D): em t=0 o ponto inicial não é A; está errada.
Assim, apenas (E) tem início em A, fim em B e o vetor direção correto.
Passo 8
Recado rápido de colega: para a prova, memorize a ideia simples — vetor direção B-A e usar A+t(B-A) com t\in[0,1]. Isso resolve quase todo exercício de parametrização de segmento.