Uma v.a.c. possui a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0 & , \text { para } x<0 \\\ k x & , \text { para } 0 \leq x<5 \\\ k(10-x) & , \text { para } 5 \leq x \leq 10 \\\\ 0 & , \text { para } x>10 \end{array}\right.
a) Determine o valor de k ; \mathrm{R}: 1 / 25
b) Trace o gráfico da f.d.p;
c) Calcule P(X \geq 3). R:41/50

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X\) com densidade \[f(x)=\begin{cases} 0,&x<0,\\\ k\,x,&0\le x<5,\\\ k\,(10-x),&5\le x\le10,\\\\ 0,&x>10. \end{cases}
O que precisamos:
  1. Determinar k\] usando a condição de normalização \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.
  2. Desenhar o gráfico de f(x).
  3. Calcular P(X\ge3) por meio de integrais da densidade.

Passo 2

Para normalizar fazemos
\int_{0}^{5}k\,x\,dx+\int_{5}^{10}k\,(10-x)\,dx=1.
Calculemos cada parte:
\int_{0}^{5}k\,x\,dx =k\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{5} =k\cdot\frac{25}{2} =12{,}5\,k,
\int_{5}^{10}k\,(10-x)\,dx =k\left[10x-\frac{x^2}{2}\right]_{5}^{10} =k\bigl[(100-50)-(50-12{,}5)\bigr] =k\cdot12{,}5.
Somando, 12{,}5\,k+12{,}5\,k=25\,k=1, portanto
k=\frac{1}{25}.

Passo 3

O gráfico de f(x) é um “triângulo” de base em [0,10] e vértice em x=5:
  • Para 0\le x\le5, f(x)=\tfrac{1}{25}x cresce linearmente de (0,0) até \bigl(5,\tfrac{5}{25}\bigr)=(5,0{,}2).
  • Para 5\le x\le10, f(x)=\tfrac{1}{25}(10-x) decresce linearmente de (5,0{,}2) até (10,0).
    Fora de [0,10], f(x)=0.

Passo 4

Queremos
P(X\ge3)=\int_{3}^{5}\frac{1}{25}x\,dx+\int_{5}^{10}\frac{1}{25}(10-x)\,dx.
Calculemos:
\int_{3}^{5}\frac{x}{25}\,dx =\frac{1}{25}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{3}^{5} =\frac{1}{25}\cdot\frac{25-9}{2} =\frac{8}{25},
e já sabemos de antes que
\int_{5}^{10}\frac{10-x}{25}\,dx =\frac{12{,}5}{25} =\frac{1}{2}.
Logo
P(X\ge3) =\frac{8}{25}+\frac{1}{2} =\frac{8}{25}+\frac{12{,}5}{25} =\frac{20{,}5}{25} =\frac{41}{50}.

Resposta

a) k=\tfrac{1}{25}
b) gráfico triangular com vértices em (0,0), (5,0{,}2) e (10,0), ligado por segmentos retos e zero fora de [0,10].
c) P(X\ge3)=\tfrac{41}{50}.

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