Postar: definição de função injetora e sobrejetora com exemplo sendo um exempl função injetora e um de função não injetora, sempre justificando sua resposta. Fazer o mesmo com a função sobrejetora: exemplo de função sobrejetora e um de função não sobrejetora, sempre justificando sua resposta

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Dar a definição de função injetora.
  • Dar um exemplo de função injetora e justificar por que é injetora.
  • Dar um exemplo de função não injetora e justificar por que não é injetora.
  • Fazer o mesmo para função sobrejetora: definição; exemplo sobrejetor com justificativa; exemplo não sobrejetor com justificativa.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Não há funções predefinidas no enunciado — posso escolher exemplos simples e clássicos (por exemplo funções lineares e a função quadrado).
  • É necessário justificar cada exemplo (prova ou contraexemplo).

Passo 2

Definição formal e intuição de injetividade.
Definição (formal):
Uma função f\colon A\to B é injetora se vale
\forall x_1,x_2\in A,\quad f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.
Explicando devagar: isto diz que nunca existem dois elementos diferentes do domínio que sejam levados ao mesmo elemento do contradomínio. Em palavras simples: entradas distintas dão sempre saídas distintas — não “empilha” valores diferentes em um mesmo valor de saída.
Métodos práticos para provar injetividade num exame:
  • Prova direta com a definição: assumir f(x_1)=f(x_2) e manipular a igualdade até chegar em x_1=x_2.
  • Prova pela contrária equivalente: mostrar que se x_1\neq x_2 então f(x_1)\neq f(x_2).
  • Para funções reais f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, usar teste da reta horizontal: se toda reta horizontal corta o gráfico em no máximo um ponto, a função é injetora.

Passo 3

Exemplo de função injetora com justificativa passo a passo.
Escolho f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=2x+1.
Prova de que f é injetora (aplicando a definição):
  1. Tome x_1,x_2\in\mathbb{R} e suponha que f(x_1)=f(x_2).
  2. Isso significa
2x_1+1=2x_2+1.
  1. Subtraindo 1 dos dois lados:
2x_1=2x_2.
  1. Dividindo ambos os lados por 2:
x_1=x_2.
  1. Como a hipótese f(x_1)=f(x_2) levou a x_1=x_2, pela definição f é injetora.
Comentário intuitivo: uma reta de coeficiente angular não nulo é estritamente monotônica (aqui crescente), então não repete valores — por isso é injetora.

Passo 4

Exemplo de função não injetora com justificativa passo a passo.
Escolho g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
g(x)=x^2.
Contraexemplo simples:
  1. Observe que g(1)=1^2=1 e g(-1)=(-1)^2=1.
  2. Temos 1\neq -1 (ou seja, entradas diferentes) e g(1)=g(-1) (saídas iguais).
  3. Isso viola a definição de injetividade (porque encontrar duas entradas distintas com mesma saída prova que a função não é injetora).
  4. Conclusão: g não é injetora.
Observação importante sobre domínio/codomain: se mudarmos o domínio para [0,\infty) e considerarmos g\colon[0,\infty)\to[0,\infty), a função x^2 torna-se injetora (porque em [0,\infty) é estritamente crescente). Isso mostra que injetividade depende do domínio.

Passo 5

Definição formal e intuição de sobrejetividade.
Definição (formal):
Uma função f\colon A\to B é sobrejetora se vale
\forall y\in B,\\ \exists x\in A\text{ tal que }f(x)=y.
Explicando devagar: isto significa que todo elemento do contradomínio B é imagem de pelo menos um elemento do domínio A. Em palavras simples: a função “atinge” tudo em B — não sobra elemento em B sem pré-imagem.
Métodos práticos para provar sobrejetividade num exame:
  • Prova construtiva: tome um y\in B arbitrário e encontre (em função de y) um x\in A tal que f(x)=y. Se conseguir para qualquer y, a função é sobrejetora.
  • Para contradizer sobrejetividade: basta encontrar um y\in B e mostrar que não existe x\in A com f(x)=y.

Passo 6

Exemplo de função sobrejetora com justificativa passo a passo.
Vou usar novamente a função linear h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
h(x)=2x+1.
Prova de que h é sobrejetora:
  1. Tome um y\in\mathbb{R} qualquer (um elemento arbitrário do contradomínio).
  2. Queremos encontrar x\in\mathbb{R} tal que h(x)=y, isto é,
2x+1=y.
  1. Resolva para x:
x=\frac{y-1}{2}.
  1. Para esse x (que pertence a \mathbb{R} porque y\in\mathbb{R}), verifica-se h(x)=2\cdot\frac{y-1}{2}+1=y.
  2. Assim, para cada y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} com h(x)=y. Logo h é sobrejetora.
Comentário: como h é tanto injetora quanto sobrejetora, é uma bijeção \mathbb{R}\to\mathbb{R}.

Passo 7

Exemplo de função não sobrejetora com justificativa passo a passo.
Volto à função quadrado k\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
k(x)=x^2.
Prova de que k não é sobrejetora:
  1. Para mostrar que não é sobrejetora, basta achar um elemento do contradomínio \mathbb{R} que não seja imagem de nenhum x\in\mathbb{R}.
  2. Considere y=-1\in\mathbb{R}.
  3. A equação x^2=-1 não tem solução em \mathbb{R} (porque quadrado de número real é sempre \ge 0).
  4. Logo não existe x\in\mathbb{R} com k(x)=-1.
  5. Conclusão: há elementos de \mathbb{R} sem pré-imagem — portanto k não é sobrejetora.
Observação: se mudarmos o contradomínio para [0,\infty) e considerarmos k\colon\mathbb{R}\to[0,\infty), então k passa a ser sobrejetora (cada y\ge0 tem pré-imagem \sqrt{y} ou -\sqrt{y}). Novamente: sobrejetividade depende do contradomínio escolhido.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (resumo prático):
  • Para provar injetividade: normalmente use a técnica “assuma f(x_1)=f(x_2) e prove x_1=x_2”. Para refutar, um único par x_1\neq x_2 com f(x_1)=f(x_2) basta.
  • Para provar sobrejetividade: pegue y genérico do contradomínio e construa x tal que f(x)=y. Para refutar, basta um y no contradomínio sem pré-imagem.
  • Sempre escreva claramente domínio e contradomínio, porque alterar o contradomínio pode mudar se a função é sobrejetora ou não; alterar o domínio pode mudar se é injetora ou não.
  • Se uma função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, chama-se bijetora (tem inversa bem definida).

Resposta

Definição de injetora: f\colon A\to B é injetora se \forall x_1,x_2\in A,\\ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.
Exemplo de função injetora (com justificativa): f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\\ f(x)=2x+1. Prova: se 2x_1+1=2x_2+1 então x_1=x_2; logo é injetora.
Exemplo de função não injetora (com justificativa): g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\\ g(x)=x^2. Contraexemplo: g(1)=1=g(-1) com 1\neq-1; logo não é injetora.
Definição de sobrejetora: f\colon A\to B é sobrejetora se \forall y\in B,\\ \exists x\in A\text{ tal que }f(x)=y.
Exemplo de função sobrejetora (com justificativa): h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\\ h(x)=2x+1. Prova: dado y\in\mathbb{R}, tomar x=(y-1)/2 h(x)=y; logo é sobrejetora.
Exemplo de função não sobrejetora (com justificativa): k\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\\ k(x)=x^2. Escolher y=-1\in\mathbb{R}; não existe x\in\mathbb{R} com x^2=-1; logo não é sobrejetora.

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