Postar: definição de função injetora e sobrejetora com exemplo sendo um exempl função injetora e um de função não injetora, sempre justificando sua resposta. Fazer o mesmo com a função sobrejetora: exemplo de função sobrejetora e um de função não sobrejetora, sempre justificando sua resposta
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Dar a definição de função injetora.
- Dar um exemplo de função injetora e justificar por que é injetora.
- Dar um exemplo de função não injetora e justificar por que não é injetora.
- Fazer o mesmo para função sobrejetora: definição; exemplo sobrejetor com justificativa; exemplo não sobrejetor com justificativa.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Não há funções predefinidas no enunciado — posso escolher exemplos simples e clássicos (por exemplo funções lineares e a função quadrado).
- É necessário justificar cada exemplo (prova ou contraexemplo).
Passo 2
Definição formal e intuição de injetividade.
Definição (formal):
Uma função é injetora se vale
Uma função
Explicando devagar: isto diz que nunca existem dois elementos diferentes do domínio que sejam levados ao mesmo elemento do contradomínio. Em palavras simples: entradas distintas dão sempre saídas distintas — não “empilha” valores diferentes em um mesmo valor de saída.
Métodos práticos para provar injetividade num exame:
- Prova direta com a definição: assumir
e manipular a igualdade até chegar em . - Prova pela contrária equivalente: mostrar que se
então . - Para funções reais
, usar teste da reta horizontal: se toda reta horizontal corta o gráfico em no máximo um ponto, a função é injetora.
Passo 3
Exemplo de função injetora com justificativa passo a passo.
Escolho
dada por
Prova de que
é injetora (aplicando a definição):
- Tome
e suponha que . - Isso significa
- Subtraindo
dos dois lados:
- Dividindo ambos os lados por
:
- Como a hipótese
levou a , pela definição é injetora.
Comentário intuitivo: uma reta de coeficiente angular não nulo é estritamente monotônica (aqui crescente), então não repete valores — por isso é injetora.
Passo 4
Exemplo de função não injetora com justificativa passo a passo.
Escolho
dada por
Contraexemplo simples:
- Observe que
e . - Temos
(ou seja, entradas diferentes) e (saídas iguais). - Isso viola a definição de injetividade (porque encontrar duas entradas distintas com mesma saída prova que a função não é injetora).
- Conclusão:
não é injetora.
Observação importante sobre domínio/codomain: se mudarmos o domínio para
e considerarmos
, a função
torna-se injetora (porque em
é estritamente crescente). Isso mostra que injetividade depende do domínio.
Passo 5
Definição formal e intuição de sobrejetividade.
Definição (formal):
Uma função é sobrejetora se vale
Uma função
Explicando devagar: isto significa que todo elemento do contradomínio
é imagem de pelo menos um elemento do domínio
. Em palavras simples: a função “atinge” tudo em
— não sobra elemento em
sem pré-imagem.
Métodos práticos para provar sobrejetividade num exame:
- Prova construtiva: tome um
arbitrário e encontre (em função de ) um tal que . Se conseguir para qualquer , a função é sobrejetora. - Para contradizer sobrejetividade: basta encontrar um
e mostrar que não existe com .
Passo 6
Exemplo de função sobrejetora com justificativa passo a passo.
Vou usar novamente a função linear
definida por
Prova de que
é sobrejetora:
- Tome um
qualquer (um elemento arbitrário do contradomínio). - Queremos encontrar
tal que , isto é,
- Resolva para
:
- Para esse
(que pertence a porque ), verifica-se . - Assim, para cada
existe com . Logo é sobrejetora.
Comentário: como
é tanto injetora quanto sobrejetora, é uma bijeção
.
Passo 7
Exemplo de função não sobrejetora com justificativa passo a passo.
Volto à função quadrado
dada por
Prova de que
não é sobrejetora:
- Para mostrar que não é sobrejetora, basta achar um elemento do contradomínio
que não seja imagem de nenhum . - Considere
. - A equação
não tem solução em (porque quadrado de número real é sempre ). - Logo não existe
com . - Conclusão: há elementos de
sem pré-imagem — portanto não é sobrejetora.
Observação: se mudarmos o contradomínio para
e considerarmos
, então
passa a ser sobrejetora (cada
tem pré-imagem
ou
). Novamente: sobrejetividade depende do contradomínio escolhido.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (resumo prático):
- Para provar injetividade: normalmente use a técnica “assuma
e prove ”. Para refutar, um único par com basta. - Para provar sobrejetividade: pegue
genérico do contradomínio e construa tal que . Para refutar, basta um no contradomínio sem pré-imagem. - Sempre escreva claramente domínio e contradomínio, porque alterar o contradomínio pode mudar se a função é sobrejetora ou não; alterar o domínio pode mudar se é injetora ou não.
- Se uma função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, chama-se bijetora (tem inversa bem definida).
Resposta
Definição de injetora:
é injetora se
.
Exemplo de função injetora (com justificativa):
. Prova: se
então
; logo é injetora.
Exemplo de função não injetora (com justificativa):
. Contraexemplo:
com
; logo não é injetora.
Definição de sobrejetora:
é sobrejetora se
.
Exemplo de função sobrejetora (com justificativa):
. Prova: dado
, tomar
dá
; logo é sobrejetora.
Exemplo de função não sobrejetora (com justificativa):
. Escolher
; não existe
com
; logo não é sobrejetora.