Se a probabilidade de um eleitor, escolhido aleatoriamente, não comparecer para votar em uma eleição, é
, qual a probabilidade de, entre 10 eleitores:
a) exatamente seis não comparecerem para votar?
b) no máximo dois não comparecerem para votar?
c) Qual o valor esperado de eleitores que não comparecerão para votar?
a) exatamente seis não comparecerem para votar?
b) no máximo dois não comparecerem para votar?
c) Qual o valor esperado de eleitores que não comparecerão para votar?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Informações dadas:
- A probabilidade de um eleitor escolhido aleatoriamente NÃO comparecer é
. - O número de eleitores considerados é
.
- A probabilidade de um eleitor escolhido aleatoriamente NÃO comparecer é
- Perguntas:
a) Qual a probabilidade de exatamente seis não comparecerem?
b) Qual a probabilidade de no máximo dois não comparecerem (ou seja, 0, 1 ou 2 não comparecimentos)?
c) Qual o valor esperado (média) do número de eleitores que não comparecerão?
Passo 2
Entender o modelo probabilístico (a “fórmula” que vamos usar).
Quando temos
tentativas independentes e cada tentativa tem probabilidade
de sucesso (aqui sucesso = “não comparecer”), o número de sucessos
segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente
sucessos é:
onde:
-
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher sucessos dentre tentativas), -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, -
é a probabilidade de fracasso em cada tentativa.
Explicando
:
onde
(fatorial) significa
. Ex.:
.
Também é útil saber a expectativa (valor médio) da binomial:
Isto tem uma interpretação simples: em média espera-se
tentativas vezes a probabilidade
de cada tentativa resultar em sucesso.
Passo 3
Resolvendo a parte (a): probabilidade de exatamente seis não comparecerem.
Aqui
,
,
e
. Aplicando a fórmula:
Calculando passo a passo:
-
. -
-
Multiplicando usando frações evita arredondamento prematuro:
Aproximação decimal:
Passo 4
Resolvendo a parte (b): probabilidade de no máximo dois não comparecerem,
.
Isso é a soma das probabilidades de
:
Calcular termo a termo (usar frações ajuda a manter exatidão):
- Para
: - Para
: - Para
:
Somando os numeradores:
Logo
Interpretação rápida: é mais provável que 2 ou menos eleitores faltem do que mais que isso, dado
e
.
Passo 5
Resolvendo a parte (c): valor esperado do número de não comparecimentos.
Para distribuição binomial vale:
Aqui
e
, então
Interpretação: em média, dentre grupos de 10 eleitores espera-se que
não compareçam — isto é, em muitos grupos a média de faltas será 2,5; em uma única turma isso significa que às vezes serão 2, às vezes 3, e a média tende a 2,5.
Resposta
a)
b)
c)