Se a probabilidade de um eleitor, escolhido aleatoriamente, não comparecer para votar em uma eleição, é 25 \%, qual a probabilidade de, entre 10 eleitores:
a) exatamente seis não comparecerem para votar?
b) no máximo dois não comparecerem para votar?
c) Qual o valor esperado de eleitores que não comparecerão para votar?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informações dadas:
    • A probabilidade de um eleitor escolhido aleatoriamente NÃO comparecer é p=25\% = 0,25.
    • O número de eleitores considerados é n=10.
  • Perguntas:
    a) Qual a probabilidade de exatamente seis não comparecerem?
    b) Qual a probabilidade de no máximo dois não comparecerem (ou seja, 0, 1 ou 2 não comparecimentos)?
    c) Qual o valor esperado (média) do número de eleitores que não comparecerão?

Passo 2

Entender o modelo probabilístico (a “fórmula” que vamos usar).
Quando temos n tentativas independentes e cada tentativa tem probabilidade p de sucesso (aqui sucesso = “não comparecer”), o número de sucessos X segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente k sucessos é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k sucessos dentre n tentativas),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa,
  • 1-p é a probabilidade de fracasso em cada tentativa.
Explicando \binom{n}{k}:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Ex.: \binom{10}{6}=\dfrac{10!}{6!4!}=210.
Também é útil saber a expectativa (valor médio) da binomial:
E(X)=n\,p.
Isto tem uma interpretação simples: em média espera-se n tentativas vezes a probabilidade p de cada tentativa resultar em sucesso.

Passo 3

Resolvendo a parte (a): probabilidade de exatamente seis não comparecerem.
Aqui n=10, k=6, p=0,25 e 1-p=0,75. Aplicando a fórmula:
P(X=6)=\binom{10}{6}\,(0,25)^{6}\,(0,75)^{4}.
Calculando passo a passo:
  • \binom{10}{6}=210.
  • (0,25)^{6}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{6}=\dfrac{1}{4^{6}}=\dfrac{1}{4096}=0,000244140625.
  • (0,75)^{4}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{4}=\dfrac{3^{4}}{4^{4}}=\dfrac{81}{256}=0,31640625.
Multiplicando usando frações evita arredondamento prematuro:
P(X=6)=210\cdot\frac{1}{4^{6}}\cdot\frac{3^{4}}{4^{4}} =210\cdot\frac{3^{4}}{4^{10}} =210\cdot\frac{81}{1\,048\,576} =\frac{17\,010}{1\,048\,576}.
Aproximação decimal:
P(X=6)\approx0,01622\quad(\text{aprox. }1{,}622\%).

Passo 4

Resolvendo a parte (b): probabilidade de no máximo dois não comparecerem, P(X\le 2).
Isso é a soma das probabilidades de k=0,1,2:
P(X\le 2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}(0,25)^{k}(0,75)^{10-k}.
Calcular termo a termo (usar frações ajuda a manter exatidão):
  • Para k=0: P(X=0)=\binom{10}{0}(0,25)^{0}(0,75)^{10}=\frac{3^{10}}{4^{10}}=\frac{59\,049}{1\,048\,576}.
  • Para k=1: P(X=1)=\binom{10}{1}(0,25)^{1}(0,75)^{9}=10\cdot\frac{3^{9}}{4^{10}}=\frac{196\,830}{1\,048\,576}.
  • Para k=2: P(X=2)=\binom{10}{2}(0,25)^{2}(0,75)^{8}=45\cdot\frac{3^{8}}{4^{10}}=\frac{295\,245}{1\,048\,576}.
Somando os numeradores:
59\,049+196\,830+295\,245=551\,124.
Logo
P(X\le 2)=\frac{551\,124}{1\,048\,576}\approx0,5256\quad(\text{aprox. }52{,}56\%).
Interpretação rápida: é mais provável que 2 ou menos eleitores faltem do que mais que isso, dado p=0,25 e n=10.

Passo 5

Resolvendo a parte (c): valor esperado do número de não comparecimentos.
Para distribuição binomial vale:
E(X)=n\,p.
Aqui n=10 e p=0,25, então
E(X)=10\cdot0,25=2,5.
Interpretação: em média, dentre grupos de 10 eleitores espera-se que 2,5 não compareçam — isto é, em muitos grupos a média de faltas será 2,5; em uma única turma isso significa que às vezes serão 2, às vezes 3, e a média tende a 2,5.

Resposta

a) \dfrac{17\,010}{1\,048\,576}\approx0,01622
b) \dfrac{551\,124}{1\,048\,576}\approx0,5256
c) E(X)=2,5

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